Să integrandul este o fracție rațională în care - polinoamele (polinoame) grade k și respectiv n. Fără a pierde din generalitate, putem presupune că k exemple Vă recomandăm, de asemenea, posibilitatea de a rezolva integralelor on-line.
și integralei R polinomul (x), știm cum să calculeze. Arătăm, de exemplu, cum este posibil de a primi expansiune (1.1). lăsa
P (x) = x 7 + 3x + 3x 5 6 - 3x3 + 4x2 + x -2, Q (x) = x 3 + 3x 2 + x-2. Împărțiți polinomul P (x) de Q polinomul (x), la fel cum împărțim numere reale (decizie a primi prin calculator lungă de divizare). avem
Astfel, am obținut partea întreagă a fracțiunii (coeficientul P al diviziunii polinom de polinomul Q) R (x) = x 2 + 2x 4 - 4x + 7, iar restul S (x) = 9x 2 - 14x +12 din această diviziune.
Prin teorema fundamentală a algebrei [6] orice polinom poate fi descompus în factori de prim, care este reprezentat în forma în care - rădăcinile polinomului Q (x) repetat de mai multe ori multiplicitate lor.
Să Q polinomul (x) are rădăcini n distincte. Apoi, o fracție rațională adecvată poate fi reprezentată ca, în cazul în care - numărul care urmează să fie determinat. În cazul în care - o rădăcină de multiplicitate # 945;, atunci el în expansiune în fracții parțiale corespunzătoare # 945; termeni. În cazul în care xj - o rădăcină complexă de multiplicitate cu coeficienți reali, conjugata complexă - de asemenea, o rădăcină de multiplicitate # 945; acest polinom. Pentru a nu trebui să se ocupe cu numere complexe în integrarea fracțiilor raționale, termenii în extinderea fracțiunii raționale corespunzătoare, care corespund perechilor de rădăcini conjugate complexe, combinate și au înregistrat un singur termen de formă, în cazul în care - rădăcinile una multiplicitate. Dacă - multiplicitatea rădăcinilor, care le corespund termenilor și descompunerea corespunzătoare este de forma
Astfel, integrarea corectă a fracțiilor raționale a fost redusă la integrarea fracțiunilor parțiale din care sunt tabelate, acesta poate fi găsit prin formula recursie, care se obține prin integrarea prin părți. Integralele, în cazul în care numitorul are rădăcini complexe (discriminante) sunt reduse prin alocarea unui pătrat perfect, la înlocuirea integralele.
O modalitate de a găsi coeficienții Aj. Mj. Nj în extinderea fracției raționale corespunzătoare este următoarea. Partea dreaptă a acestei extinderi, cu coeficienți nedeterminate Aj. Mj. Nj duce la un numitor comun. Având în vedere că numitorul laturile dreapta și stânga sunt egale, ar trebui să fie egale, iar numărătorii, care sunt polinoame. Echivalând coeficienții aceleași puteri ale lui x (deoarece polinoamele sunt egale dacă coeficienții sunt aceleași puteri ale lui x), obținem un sistem de ecuații liniare pentru determinarea acestor coeficienți.
1. Găsiți.
Rădăcinile numitorul - x1 = -2 multiplicitate 1 și x2 = 1 multiplicitate 2. Prin urmare, x 3 - 3x + 2 = (x + 2) (x1) și 2 funcția integrantul poate fi reprezentat ca
Ceea ce duce la un numitor comun, obținem
Asimilarea coeficienții de puteri, cum ar fi de x în numărătorul dreapta și stânga părțile laterale ale ultimei relație, obținem
Rezolvarea acestui sistem, vom găsi.
Astfel,
2. Găsiți.
Rădăcinile numitorul - x1 = 2 multiplicitate 1 și două complexe rădăcină x2,3, = -1 ± i. Prin urmare, x 3 - 2x - 4 = (x-2) (x 2 + 2x + 2), iar funcția integrantul poate fi reprezentat ca
Ceea ce duce la un numitor comun, obținem
Asimilarea coeficienții de puteri, cum ar fi de x în numărătorul dreapta și stânga părțile laterale ale ultimei relație, obținem
Rezolvarea acestui sistem, vom găsi că A = 1, M = 1, N = 2.
Astfel, articole similare