Integrarea fracții raționale
fracțiunile corespunzătoare și improprii
fractie rațională este o expresie a formei unde P (x) și Q (x) - polinoame. fractie rațională se numește corectă. dacă gradul de polinomul P (x) este mai mic decât gradul numarator Q sale polinomul (x) la numitor. În caz contrar, fracție se numește neregulată. Fiecare fracțiune greșită rațională prin împărțirea numărătorul la numitor la forma în care - polinomului (partea întreagă fisiune), și - o fracție rațională adecvată (reziduu). Prin urmare, Deoarece elementar calculată integral (redus la suma de masă), atunci fracțiunea necorespunzătoare de integrare este redusă la o integrare adecvată fracțiune. Integrarea fracțiune rațională corespunzătoare se reduce, la rândul său, la integrarea fracțiunilor parțiale.
Descompunerea unei fracții corespunzătoare în fracții parțiale
fracțiunile corespunzătoare următoarele patru tipuri este fracții simple (sau elementare): I.
IV. Se presupune că A, B, p, q - sunt numere reale, iar trinomul pătrat în fracțiuni III și IV tipuri nu are rădăcini reale (adică). Fiecare fracțiune adecvată poate fi reprezentată ca o sumă de fracții parțiale ale celor patru tipuri. Și anume, dacă numitorul fracției corespunzătoare este descompus în liniare irepetabilă și pătratice factori unde - numere naturale, atunci această fracție poate fi scrisă ca suma dintre următoarele simple: Coeficienții în expansiune sunt folosind metoda coeficienților nedeterminați și metoda de puncte de date. Numărul total de coeficienți egal cu gradul de Q polinomului (x). Astfel, prin integrarea împușcat dreapta, l-am descompune mai întâi în suma mai simple, și să se integreze apoi fiecare termen în această expansiune. Calcularea integralele fracții parțiale, trebuie să ținem cont de faptul că: I. Cele mai simple fracțiuni ale primelor două tipuri - aproape tabel: 1.Zamechanie.2.Zamechanie.II. Atunci când integrarea unui al treilea tip de fracții simple este necesară selectarea unui pătrat perfect de exprimare și de a face substituția corespunzătoare. Ultima expresie în paranteze, prin ipoteză, există un număr pozitiv, acesta poate fi setat egal, dacă luăm acum recurge la substituția Astfel, avem: sau, merge înapoi la, și substituind valoarea sa: Concluzie. Atunci când integrarea fracțiilor tip a treia se obține, în general, suma logaritmului natural și Arctangenta. . Exemplu (8.3.6) termwise împărțirea numărătorul la numitor, vom obține proprietatea folosind integralele integrală a unei sume egală cu suma integralelor funcțiilor acestor funcții, și anume în continuare înapoi la variabila x originală obținem (în prima expresie este mai întâi variabila t, și apoi la x): În continuare, considerăm integrarea fracțiilor corespunzătoare, care sunt prezentate ca o sumă de fracții parțiale ale celor patru tipuri: 1. integrandul împușcat - dreapta. Extinde-l la valoarea de fracțiuni parțiale de primul tip: Pentru a găsi necunoscut coeficienți A și B da fracțiunea de pe partea dreapta la un numitor comun, adică, în cazul în care Din această ecuație puteți găsi coeficienții A și B în două moduri: prin utilizarea metodei coeficienților nedeterminați și metoda de puncte de date. Luați în considerare ambele. 1. Metoda coeficienților nedeterminat. Dezvelirea suporturile de pe partea dreaptă a ecuației (*), și membrii grupului, cu puteri egale: Deoarece polinoame în ambele părți ale egalității sunt identic egale, atunci ele trebuie să fie egale, iar coeficienții puterilor respective ale variabilei x. Comparând acești coeficienți, obținem un sistem de două ecuații: Rezolvarea acestui sistem, vom găsi că A = 5, B = 2. 2. Metoda de puncte de date. Să ne dea un x necunoscut în ecuația (*) valoarea privată x = 3. Atunci vom obține că unde A = 5. Substituind în ecuația (*), valoarea x = -2 (cel mai convenabil pentru a substitui valori, transformând una sau mai multe console în partea dreaptă a ecuației la zero și aceste valori coincid cu rădăcinile reale ale numitorul fracției integrantul), obținem unde B = 2. Astfel, în cazul în care