1. Probabilitatea ca un anumit eveniment este egal cu unu.
2. Probabilitatea unui eveniment imposibil este zero.
3. Probabilitatea unui eveniment aleator se află între zero și unu.
4. Probabilitatea ca suma a două evenimente disjuncte este egală cu suma probabilităților acestor evenimente.
3) Definiția clasică a probabilității de direct aplicabile numai experimente care au un număr finit de rezultate la fel de posibile.
Cu toate acestea, ea poate fi extinsă la anumite experiențe care au un număr infinit de rezultate la fel de posibile. Acesta poate fi utilizat în probleme care pot fi reduse la un punct aleatoriu din distribuția pe ultima linie dreaptă secțiune, plan sau spațiu pentru a reuni linia porțiuni de capăt, plan, spațiu.
În cazul în care posibilitatea unui anumit punct în interiorul zonei nu este determinată de poziția acestei regiuni și a limitelor sale, ci doar o măsură, adică lungime, arie, volum, probabilitatea unui punct aleatoriu într-un anumit domeniu este definită ca raportul suprafață al măsurii la măsura întregii regiuni, în care pot apărea acest punct. Această definiție se numește probabilitatea geometrică.
Să planul definit de domeniu squarable, și anume, regiune având o suprafață. Notam zonă a scrisorii. și suprafața sa (figura 1.2.1).
În zona punctului aruncate la întâmplare. Presupunem că punctul aruncat poate ajunge în unele părți din c probabilitatea zona proporțională cu pătratul pieselor și nu depinde de forma și locația sa. Lăsați evenimentul - „obtinerea aruncat la punctul“, atunci probabilitatea geometrică a acestui eveniment este determinată prin formula:
În mod similar, noțiunea de probabilitate geometrică introdusă la aruncarea de puncte în volumul spațial. Volum zonă:
În cazul general, conceptul de probabilitate geometrică este definită după cum urmează. Denote aria de măsură (lungime, arie, volum) prin. și se măsoară aria - (- primele trei litere ale cuvântului mesure francez, ceea ce înseamnă că măsura); notată cu evenimentul literă - „obtinerea aruncat la punct. care este conținut în domeniu. " Apoi, probabilitatea acestui eveniment este determinată prin formula:
Notă 1.1.1. Determinarea probabilității definită prin (1.2.6), și este potrivit pentru cazul clasic, ca o măsură a evenimentului este numărul de evenimente elementare care alcătuiesc acest lucru.
Dăm câteva exemple de rezolvare a problemelor, folosind formulele de mai sus.
Exemplul 1.2.1. O urnă 10 identică în mărime și greutate bile 4 a căror roșu și albastru 6. Extrași din urnă o minge. Care este probabilitatea ca mingea extrasă va fi albastră?
Decizie. Eveniment - „Scoaterea mingii este albastru“, notată cu litera. Acest test are 10 la fel de posibile evenimente elementare, dintre care 6 sunt evenimente favorabile. În conformitate cu Formula (1.2.1) obținem.
Exemplul 1.2.2. Toate numerele naturale de la 1 la 30 sunt înregistrate pe aceleași cărți și plasate într-o cutie. După amestecarea completă de cărți de la cutii recuperate o carte. Care este probabilitatea ca numărul de pe card vor fi luate multiplu de 5?
Decizie. Notam evenimentul - „numărul de pe card luate este un multiplu de 5.“ În acest test, sunt 30 la fel de posibile evenimente elementare din care un rezultat favorabil eveniment 6 (numere 5,10,15,20,25,30). În consecință ,.
Exemplul 1.2.3. Pentru a arunca două zaruri, calculat suma pe laturile superioare. Găsiți probabilitatea de evenimente. care constă în faptul că, pe fața superioară a cubului va fi în valoare de 9 puncte.
Decizie. În acest test, toate evenimentele elementare egal posibile (a se vedea. Tabl.1.1.1). Eveniment 4 rezultate favorabile: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), cu toate acestea.
Exemplul 1.2.4. Din literele cuvântului o literă diferențială este ales la întâmplare. Care este probabilitatea ca această literă este: a) transparent, b) sunt de acord să) scrisoarea?
Decizie. Cuvântul diferențial 12 litere, inclusiv 5 vocale și consoane 7. Literele din cuvântul nr. Notăm evenimente: - „vowel“ - „Conform scrisorii,“ - „litera“. Numărul de evenimente elementare favorabile: - pentru eveniment. - pentru eveniment. - pentru eveniment. Deoarece. ce
Exemplul 1.2.5. Pentru a arunca două zaruri, calculat suma pe laturile superioare. Ce este mai probabil: a obține un total de 7 sau 8?
Decizie. Notăm evenimente: - "a căzut 7 puncte," - "a scăzut la 8 puncte." Eveniment favorizează 6 evenimente elementare: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) și evenimente - 5 rezultate: (2 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2). Toate la fel de posibile rezultate elementare pentru ambele evenimente vor fi același număr, și anume, deci; . Deci în consecință, cu atât mai probabil evenimentul decât un eveniment.
Exemplul 1.2.6. 500 luate la întâmplare 8 părți dovedit a fi defect. Găsiți frecvența relativă a pieselor defecte.
Decizie. Deoarece în acest caz. . în conformitate cu formula (1.2.2), găsim:
Exemplul 1.2.7. Printre 1000 de nou-născuți băieți avansat 515. Care este frecvența relativă a sărbătoritul?
Decizie. Deoarece în acest caz. . atunci.
Exemplul 1.2.8. Atunci când fotografiați la o țintă rezultatele relative de viteză. Găsiți numărul de accesări pentru 40 de focuri.
Decizie. Formula (1.2.2) care. de atunci
Astfel, a fost obținut rezultatul 30.
Exemplul 1.2.9. Alte 300 de piese realizate pe o mașină automată, avansat 15 părți care nu îndeplinesc standardul. Găsiți frecvența relativă a pieselor non-standard.
Decizie. În acest caz. . prin urmare
Exemplul 1.2.10. Controler, verificarea calității produselor 400 a constatat că 20 dintre ele fac parte din clasa a doua, iar restul - la prima. Găsiți frecvența relativă a primelor produse de clasa, frecvența relativă a produselor de clasa II.
Decizie. În primul rând, vom găsi o serie de produse din clasa I: 4-200 = 380. Astfel, frecvența relativă a primelor produse de clasa frecventa relativa a produselor din clasa II
Exemplul 1.2.11. Cercul înscris într-un pătrat (figura 1.2.2). Gama de aleatoare punct de greve. Care este probabilitatea ca un punct cade în piață?
Decizie. Vom introduce notația: - raza cercului - latura pătratului înscris, evenimentul - „punctul de impact în piața“ - suprafața unui cerc, - zona pătrat înscris. După cum se știe, zona de cerc. Side printr-o rază pătrat inscripționată a cercului este exprimat prin formula. astfel încât zona de pătrat.
Pentru a consolida acest subiect propune să rezolve următoarele probleme.
1. La număr natural aleator ales să nu depășească 30. Care este probabilitatea ca acest număr este un multiplu de 3?
2. sfere urnă roșu și albastru identice ca mărime și greutate. Care este probabilitatea ca un extras aleator o minge din această urnă va fi albastră?
3. La număr natural aleator ales să nu depășească 50. Care este probabilitatea ca acest număr este prim?
4. aruncă trei zaruri, suma podchityvaetsya punctelor de pe partea superioară. Ce este mai probabil - pentru a obține un total de 9 sau 10 puncte?
5. aruncă trei zaruri, calculat suma de puncte a scăzut. Ce este mai probabil - pentru a obține un total de 11 (eveniment) sau 12 puncte (eveniment)?
6. Departamentul tehnic de control a găsit 10 produse non-standard, într-un lot de 1000 de produse. Găsiți rata de fabricare a produselor defecte.
7. Pentru a determina calitatea semințelor au fost selectate și însămânțate într-un laborator de 100 de bucăți, dintre care 95 au fost date germinarea normală a semințelor. Care este frecvența de germinare normală a semințelor?
8. Găsiți frecvența relativă a numerelor prime în următoarele segmente ale seriei naturale: a) 21 - 40; b) 41-50; c) 51-70.
9. Găsiți frecvența relativă de apariție a unei șase în 90 aruncări ale unei matrițe (referindu-se la un experiment cu o aruncare de zaruri și fixarea aspectului șase.)
10. În planul desenat două cercuri concentrice ale căror raze de 6 cm și 12 cm, respectiv. Care este probabilitatea ca un punct aruncat într-un cerc mare, devine în inelul format de cerc a spus?
11. Raza cercului înscris unui triunghi echilateral. Găsiți probabilitatea ca un punct este aruncat în acest cerc, va cădea în acest triunghi.
12. Mingea este inscripționată piramidă triunghiulară regulată. Punctul este fixat la întâmplare într-un castron. Găsiți probabilitatea unui punct care se încadrează într-o piramidă.
13. Lungimea tijei de rupt la întâmplare în trei părți. Care este probabilitatea ca aceste părți pot face un triunghi?
1); 2); 3); 4) - probabilitatea de a obține un total de 9 puncte; - probabilitatea de a obține un total de 10 puncte; ; 5). . ; 6) 0,01; 7) 0,95; 0,05; 8) a) 0,2; b) 0,3; c) 0,2; 10); 11). Notă. Laterală a triunghiului prin raza cercului este exprimat prin formula; 12). Notă. ; 13) 0,25.
Testați-vă cunoștințele
1. Ceea ce se numește probabilitatea evenimentului?
2. Care este probabilitatea ca un anumit eveniment?
3. Care este probabilitatea unui eveniment imposibil?
4. În ce măsură este inclus probabilitatea oricărui eveniment?
5. Care este definiția probabilității este numit un clasic?