Tema 1. Funcțiile de mai multe variabile și probleme de optimizare
extreme locale și globale
În programarea matematică probleme sunt de obicei căutate de extremă (maximă sau minimă) a funcției obiectiv cu unele restricții privind valorile variabilelor sale, care sunt scrise ca un sistem de ecuații și inegalități.
Punctul se numește un minim local. în cazul în care există un număr astfel încât pentru orice punct x dintr-un cartier arbitrar mic:
În mod similar vom defini o valoare maximă locală a funcției în punctul.
Care este contrastul minim local la nivel mondial. Global minim - un punct x *. în care funcția obiectiv are o valoare mai mare decât în orice punct fezabil. minim local - un punct x *. în care funcția obiectiv este setat pentru a nu mai mult decât în orice suficient de „aproape“ de x * punct valid.
Întotdeauna ușor pentru a merge de la problema maximă pentru sarcina în cel mai puțin, și vice-versa.
Astfel, aceste două obiective sunt atinse într-unul și același punct, iar valorile funcțiilor obiective sunt opuse (vezi. Fig.)
Fig.1. Trecerea de la problema maximă pentru sarcina cel puțin
În unele cazuri, existența unor soluții ZMP- garantează următoarea teoremă:
Teorema Weierstrass (TW). În cazul în care este posibil set X este închis, limitat și goale, iar funcția obiectiv F (x) este continuă în X, atunci acesta ajunge și cele mai mari și cele mai mici valori din set.
Vă rugăm să rețineți că nerespectarea condițiilor TW lasă problema existenței soluțiilor ZMP deschise.
Exemplul 1. TW ilustrează aplicarea următoarelor sarcini:
► a) Setul admisibil al problemei este deschis și nelimitat, ceea ce face imposibilă utilizarea TW. Cu toate acestea, funcția obiectiv este considerată ZMP- are un minim la nivel mondial în punctul.
b) funcția continuă la o licență limitată, închisă set. Acest lucru înseamnă că, din cauza TW pe intervalul considerat al funcției obiectiv a problemei este la cele mai înalte și cele mai scăzute valori.
c) Un set valid de problema este închisă și mărginită, dar funcția obiectiv este discontinuă în acest moment, în intervalul. și TW este aplicabil în acest caz. Funcția obiectiv al ZMP nu este un minim global și maximă. ◄