Secvența se numește non-descreștere (fără creștere) în cazul în care, pentru orice n inegalitate.
În cazul în care inegalitățile stricte. secvența este declarat a fi în creștere (scădere). Scăderea, în creștere, fără scădere și secvențe non-crescătoare numite monoton.
Secvențele monotone sunt limitate la partea de sus sau de jos. Și anume, o secvență non creștere mărginită de mai sus (primul element x1), și delimitată mai jos printr-o secvență de (de asemenea x1 elementului) non-descrescătoare.
În cazul în care o secvență non-creștere este mărginită de mai jos și chiar și atunci este mărginită pe două laturi. In mod similar, un non descreștere secvență care este mărginită de mai sus, mărginită pe două laturi.
Dacă un (non-creștere) secvență non-descreștere este mărginită de mai sus (mai jos) numărul M (m). are o limită a unei. și.
Având în vedere că numai că a făcut această teoremă observații pot fi formulate după cum urmează: în cazul în care o secvență de monotonă este mărginită pe ambele părți, apoi converge.
Restricționăm dovada pentru secvența non-descrescătoare. Arătăm că limita unei astfel de secvențe este supremumul.
Deoarece - pluralitate supremum elementului. putem indica orice element xN, astfel încât. Comparăm aceste inegalități și pentru a obține. pentru că - scăderea secvenței, când N. Astfel, atunci când N satisface inegalitățile și din moment. aceste inegalități sunt scrise în formă. și anume . Așa că am arătat că numărul - limita secvenței.
Rețineți că, pentru secvențele monotone ale elementelor sale sunt aproape de o limită laterală. Astfel, pentru o secvență non-descreștere. a cărui limită este. pentru orice n inegalitate. Pentru non-monotone secvențe posibile aproximare la limita de ambele părți. Exemplul am avut:
Evident. dar semnele elementelor acestei secvențe alternează.
Corolar teoremei (Principiul segmentelor imbricate).
Să se dea un sistem infinit de segmente, fiecare dintre care următoarele este conținut în anul precedent, și anume, . Să presupunem că diferența (lungimea intervalului) tinde la zero.
Apoi, există un punct C, unic, care aparține toate segmentele sistemului.
Evident, secvența capetele din stânga ale segmentelor este un non-descreștere, iar secvența dreapta se termină - non-creștere. Deoarece ambele aceste secvențe sunt limitate (toate elementele secvențelor și sunt în intervalul), apoi ambele converg.
Din faptul că diferența implică faptul că ambele aceste secvențe au o limită comună S. Apoi, în mod clar. și anume punctul C aparține tuturor segmentelor. Afirmația este dovedită.
Înainte de a da definiția e (baza logaritmilor naturali), care joacă un rol important în matematică, permiteți-mi să vă amintesc formula binomială. Este în oricare dintre erecției naturale grad n binom (a + b).
pentru că . puteți obține cu formula.
În general, formula, care poartă numele teorema binom:
Pe baza formulei binom lui Newton:
Acest lucru arată că toți termenii sunt pozitive, astfel încât
Pe de altă parte, înlocuind fiecare unitate de suport, vom crește expresia, astfel încât:
Acum, rețineți că
În cazul în care toate înlocuite cu numitori. partea dreaptă va crește.
Astfel, pentru orice n.
Acum ne arată că - secvență de creștere.
Comparând aceste expresii, observăm că expresia pentru un termen pozitiv este mai mare decât în expresie. În plus, în al doilea termen al treilea termen
Astfel, fiecare termen este mai mică decât termenul corespunzător. Deci și anume secvență - este în creștere. Din moment ce se limitează, prin urmare, converge la o limită de e. în care e - irațional numere - exprimat fracțiune nesfârșită non-periodice.