Revendicarea 4. Suma și intersecția spațiilor vectoriale.
Definiția. Fie M - subspațiul vector arbitrar. Iar suma M este setul
Notă. Sub intersecția spațiilor vectoriale înțeleg intersecția lor ca seturi.
Teorema. Cantitatea de vector și subspațiul intersecție al spațiului vectorial V este un subspatiu vectorial al spațiului vectorial V.
Dovada. Fie L și M - subspațiu liniar arbitrar al vectorului spațial V, - intersecția - suma lor.
1) Să - vectori arbitrar. Apoi, și. Din cauza unui subspațiu închis în ceea ce privește adăugarea de vectori și multiplicarea unui vector cu un scalar:
ceea ce implică faptul că
și anume Este un subspațiu vectorial.
2) 1) Să - vectori arbitrar. apoi,
, , în cazul în care. Din cauza unui subspațiu închis în ceea ce privește adăugarea de vectori și multiplicarea unui vector cu un scalar:
ceea ce implică faptul că
și anume Este un subspațiu vectorial.
Teorema. (Pe dimensiunea sumei spatiilor vectoriale.)
Dimensiunea sumei spațiilor vectoriale este egală cu suma dimensiunilor lor minus dimensiunea de intersecție a acestora:
Dovada. Fie L și M - subspațiu liniar arbitrar al vectorului spațial V, - intersecția - suma lor. denote:
Deoarece incluziunile evidente:
atunci. Obiectivul nostru este de a demonstra egalitatea:
Să - intersecția bazei. De la intersecția, baza sa poate fi extinsă la o bază a spațiului L. Fie
În mod similar, intersecția de bază poate fi extinsă la o bază de M. Fie
- baza M. Vom demonstra că
- bază, ceea ce va implica dovedește (2).
Mai întâi dovedesc că sistemul vectorilor (3) este un sistem de generare a subspațiu.
Să - vector aleator, în cazul în care. Noi extindem vectorii x și y pe baza subspații vectoriale L și M:
, și anume System (3) pentru generarea unui subspațiu liniar.
Demonstrăm acum că sistemul (3) este liniar independentă. lăsa
Apoi, de exemplu, Prin urmare, vectorul x poate fi descompus prin baza de trecere:
ceea ce implică egalitatea:
Deoarece sistemul este o bază a subspațiul M, atunci este liniar independentă, rezultă că. Din aceasta, la rândul său rezultă că
Sistemul este baza subspatiului L, care este liniar independent de sistem, prin urmare,
Astfel, sistemul (3) este vectorul zero, numai banală și, prin urmare, este liniar independentă, QED
Definită cantitate desemnată în mod similar oricărui număr finit de subspatii vectoriale.
Definiția. Să - subspațiul spațiului vectorial V. Setul
Se numește suma de spații vectoriale.
Ca mai sus, putem dovedi că suma subspații vectoriale V este, de asemenea, un vector al unui subspatiu V. spațiu vectorial