Revendicarea 4. matrice Rank.
Fie A - dimensiuni arbitrare matrice peste câmpul K, și lăsați numărul k naturale, astfel încât acesta să nu depășească un număr de rânduri de matrice A sau numărul de coloane sale, și anume, .
Definiția. Minor - comanda matricea A se numește determinantul matricei - prima comanda, care se obține din matricea A prin ștergerea tuturor rândurilor și coloanelor, cu excepția cazului în care se menționează în mod arbitrar de rânduri și coloane.
Exemplu. . Nota 1 si coloanele 4-a, iar primele două rânduri și (coloana 2 și 3 și rândul a 3) rămânând în cruce: - Minor a doua matrice ordine A.
Sau vom șterge orice coloană a matricei A treia exemplu:
- al treilea ordin minor al matricei A.
În mod evident, primul ordin minor este orice element, iar al patrulea ordinea minorilor nu există, minorii de ordinul trei sunt exact patru, iar al doilea minori de ordinul exact 18 bucăți.
Definiția. Rangul matricei nenul este de ordinul maxim al său minor nenul.
Rank matrice zero, prin definiție, se presupune a fi zero.
Notă. Din definiția rezultă că rangul matricei este un întreg pozitiv nenul care nu depășește numărul de rânduri sau nici numărul de coloane. Deci, în exemplul de mai sus, gradul de A poate fi egal cu 1 sau 2 sau 3. Deoarece ordinul al doilea minor, rangul matricei este egal cu 2, dacă toate cele patru sale ordine treilea minor sunt 0, și este egal cu 3 în cazul minorilor între comanda a treia există la cel puțin un non-zero.
Fie A - dimensiuni arbitrare matrice peste un câmp K. Apoi rândul său având o lungime n și pot fi considerate ca vectori aritmetic rânduri spațiu vectorial lungime n :.
Coloanele matricei A și m au înălțimea poate fi considerată ca înălțimea vectorilor coloanei din spațiul vectorial aritmetic m :.
Denote - un sistem de linii de matricei A, - un sistem de coloane sale. Apoi, pentru toți și pentru toate. Aceste sisteme, precum și orice sistem de vectori unui spațiu vectorial au propria lor rang.
Teorema. (Pe rangul matricei.) Rangul este rangul sistemului cu matrice de rânduri și de coloane este egal cu rangul sistemului său.
În caz contrar, în notație noastră :.
Pentru a dovedi această teoremă avem nevoie de două leme:
Lema 1. Fie A - o matrice pătratică - ordine peste câmpul K. Următoarele afirmații sunt echivalente:
1), rândurile matricei sistemului A - este dependentă liniar;
2) sistemul de coloane matricei A - este dependentă liniar;
3) determinantul matricei A este zero.
Dovada. . Rezultă din proprietățile determinant și a fost dovedită.
. Să. Trebuie să dovedim că sistemul de coloane A sunt liniar dependente.
Să presupunem contrariul. Lăsați sistemul coloană - liniar independent. Deoarece A - o matrice pătrată, atunci toate coloanele au n, adică, înălțimea sunt vectori de dimensiunea spațiului este egal cu n. Prin urmare, sistemul este baza spațiului.
Am găsit matricea de tranziție de la baza canonică la baza coloanelor din matricea A. Pentru a face acest lucru, vom extinde vectorii de bază ale bazei canonice. In forma de matrice aceste extinderi vor fi:
, unde C - matricea de tranziție. Dar ultima egalitate este egalitate, în cazul în care E - matricea de identitate, ceea ce implică faptul că. Deoarece matricea de transfer este non-degenerate, adică, Rezultă că, spre deosebire de ipoteza. Prin urmare, ipoteza noastră despre independența liniară a sistemului de coloane matricei A este incorectă, QED
. Rezultă din cele de mai sus rezultă că sistemul de linii ale matricei A este liniar dependentă dacă și numai dacă, deoarece rând al matricei A sunt coloanele matricei transpuse. De atunci totul este dovedit.
Corolar. Fie A - o matrice pătratică - ordine peste câmpul K. Următoarele afirmații sunt echivalente:
1), rândurile matricei sistemului A - sunt liniar independente;
2) sistemul de coloane matricei A - sunt liniar independente;
3) determinantul matricei A nu este egal cu zero.
Lema 2. Fie - subspațiu al spațiului V peste un câmp K și. Apoi, există o formă liniară nenul, astfel încât, de exemplu, ,.
Dovada. Să - bază subspațiul L. extinderii acesteia la o bază a spațiului V :. Definim o formă liniară V prin ecuația
După cum am văzut mai sus, această mapare este o formă liniară, și nenulă, adică, de exemplu,
Să - subspațiul arbitrar L. vector se descompun în bază V:
, Rezultă că, QED