Suma și subspațiul intersecție. sumă directă de subspatii.
Fie L - un spațiu vectorial peste F. A și B - subspații sale. Suma subspaiilor A și B este mulțimea A + B = a + b | și A, b B>.
Exemplul 1. în vectorii plane situate pe axa x. constituie subspatiu A; vectori situată pe axa OY. B. înființat subspațiul A + B coincide cu, după cum se poate verifica prin verificarea activa A + B și A + B.
Teorema.Summa subspațiul și în spațiul L liniar este subspațiul său.
1. Suma Basis subspații A = B = coincide cu vectorii de bază ai sistemului.
2. Dimensiunea A + B este egal cu rangul unui sistem de vectori.
Exemplul 2. în subspațiul dat A4 liniar spațiu și A = B =, unde k = (1, 2, # 8209; 1, 3). = (2, 1, 4, 2). = (4, 5, 2, 8). = (6, 6, 6, 8). = (5, 4, 7, 7). = (4, 2, 8, 6). Găsiți o bază și dimensiunea subspatiului A + B.
Decizie. Noi găsim baza A și B. Noi formează baza matricea M și N, și sunt în căutarea pentru clasele lor. M matrice compusă din coordonatele vectorilor de rânduri. N matrice compusă din coordonatele vectorilor de rânduri.
Vectorii formează o bază pentru A. t. K. Coordonatele acestor vectori trec prin baze minore M2.
Vectorii formează o bază pentru B. t. K. Coordonatele acestor vectori trec prin baze minore M2.
Apoi, A + B =
Prin urmare, r (H) = 3. Deoarece baza de minor include coordonatele baza vectorilor ,, b1 a A + B cuprinde vectori ,,, dim (A + B) = 3.
Subspatii intersecția A și spațiul L liniar este setul.
Teorema. Intersecția subspații liniare L este un subspațiu L.
Teorema. Dimensiunea sumei subspațiu egală cu suma termenilor de dimensiuni fără dimensiunea de intersecție a acestora, adică. E.
Din această formulă vom găsi dimensiunea A B:
Deoarece dimensiunile subspațiile în partea dreaptă, suntem capabili de a găsi, dim atunci această formulă poate fi găsit (A B).
Exemplul 3. Pentru a subspații A și B din exemplul 2 pentru a găsi dimensiunea bazei subspațiul și A B.
Decizie. Am constatat că dim (A + B) = 3. dim (A) = 2. dim (B) = 2. Substituind formula (1), avem:
Astfel, dim (A B) = 1. Acum rămâne să găsească o bază de B. Pentru acest scop, un vector de non-zero, este suficient pentru a afla A B, și va fi baza unui B.
Scrie această componentwise egalitate, obținem un sistem de ecuații liniare omogene pentru necunoscut.
Rezolvăm sistemul de Gauss:
Am găsit soluția parțială nenul a sistemului, oferind o valoare diferită de zero s2 liber necunoscut, de exemplu s2 = 1.
Când valoarea este selectată variabilele s2 t1 = t2 = 1 și 2. Scrieți vectorul x:
Am găsit un vector nenul de la intersecția A B, este baza subspatiului A = B. A B.
Dacă subspațiul A și B sunt date sistem omogen, intersecția A B va fi determinată de sistemul de ecuații obținute prin combinarea tuturor acestor sisteme. Orice sistem fundamental de soluții de astfel de sistem este baza intersecției A B.
Exemplul 4. Lăsați subspatiul A și B, respectiv, sunt date de sisteme de ecuații
Găsiți bază și dimensiunea subspatii A + B și A B.
Subspatiul definit de sistem
Pentru a găsi A + B definesc baza pentru A (sistem FSS ()) și baza B (ecuațiile (DCF)). Rezolva sistemul (). SRF este format din unul soluții (n # 8209; r = 4 # 8209; 3 = 1); - necunoscutele de bază - necunoscut gratuit. Obținem un sistem de sisteme ():
Rezolvăm sistemul de Gauss:
FSS: sau (231, # 8209; 627, 1111, 506). O bază a spațiului - un vector (231, # 8209; 627, 1111, 506) = a.
Rezolva sistemul (). SRF este format din două soluții (n # 8209; r = # 8209 4 2 = 2). Principalul necunoscut - gratuit -.
Ca bază de subspatiului poate lua vectorii
Să vedem dacă sistemul de vectori este liniar dependentă sau independentă liniar.
r (H) = 3. Sistemul de vectori sunt liniar independente, este baza (A + B).
Găsim intersecție dimensiune (A B) subspatii.
3 = 2 + 1-dim (A B). dim (A B) = 0, A B = 0. Nici o bază. Pentru a găsi intersecția subspațiile O bază B ar trebui să rezolve un sistem de ecuații
r (K) = 4r = n sistem are doar soluția banală. De aceea, A B = 0. Baza subspatiului A nr.
Fie L avem subspațiul A și B. Se poate întâmpla ca AB = 0. Apoi, suma subspaiilor A + B este o sumă directă și este notat cu A + B = AB.
Subspatiul A + B, reprezintă H. H = A + B. H. Apoi înregistrată: AV = H dacă H = L, atunci L = A și B. spune subspațiul H (L spațiu liniar) este suma directă a subspaiilor A și B. Dacă L = subspaiilor AV A și B numitul complement directă reciproc în spațiul L.
Teorema. Suma subspațiile A și B dacă și numai dacă există o linie dreaptă, atunci când dimensiunea suma subspațiile A și B este egală cu suma dimensiunilor termenilor, adică E..:
Exemplul 6 Subspatii A și B din exemplul 4 cuprind sumă directă pentru că A B = 0.