Intersecția și suma
Să - subspațiu al unui spațiu vectorial peste câmp.
Propoziția 1. Intersecția subspațiilor, și este un spațiu vectorial.
Notă 1. Combinarea și spații nu trebuie să fie un spațiu vectorial așa cum se arată în exemplul următor.
Exemplul 1. Să presupunem că este o mulțime de vectori ai formei, unde. Baza acestui spațiu și va servi ca un vector. Set și - vectori liniari și cochilie, respectiv. suma vectorială nu este conținută în.
Determinarea 1.Summoy 1) și subspațiu este cel mai mic subspațiul care conține atât, adică,
.
În general vorbind, este posibil să se determine valoarea oricărui număr finit de subspatii:
Definiție # 1. " Suma în spații - este cel mai mic subspațiul care conține tot ceea ce este
.
Propoziția 2. Fie - subspațiu al unui spațiu vectorial finit-dimensional. atunci
.
sumă directă internă
Definiție 2. Un spațiu este suma directă a 2) subspații vectoriale dacă fiecare vector poate fi reprezentat de unul și numai într-un fel ca o sumă
Suma directă a spațiilor vectoriale este notat cu.
Nota 2. Definită în acest mod se numește suma directă a interiorului.
Exemplul 2. Să subspațiul și bine definit, ca în exemplul 1. Apoi, suma este directă, adică.
Propoziția 3. Suma este directă dacă și numai dacă oricare dintre următoarele două condiții:
.
Corolar 1. În cazul în care suma este directă, dacă și numai dacă.
Propoziția 4. Pentru orice dimensiune subspatiu n-dimensională a spațiului vectorial, există un subspatiu dimensionale care.
3. Determinarea subspațiul subspațiul vectorial al Propozitia 4, adică una care se numește subspațiul complementară 3).
sumă directă externă
Să - spații vectoriale peste câmp.
Determinarea 4.Pryamoy suma spațiilor vectoriale se numește produsul cartezian al operațiilor de adunare și înmulțire vector cu un scalar. definită prin următoarea formulă:
.
Nota 3. Definită în acest mod se numește suma directă exterior. O verificare directă că suma directă externă a spațiilor vectoriale este un spațiu vectorial.
Propoziția 5. Suma directă externă a spațiilor și are următoarea proprietate: în cazul în care - mapări liniare condiții definite, este suma directă internă a subspatii și. Astfel.