Pentru a găsi baza sistemului de vectori A1, A2. Este necesar:
§ Scrie un sistem omogen de ecuatii A1 x1 + A2 x2 + corespunzator sistemului de vectori. + An xn = # 920;
§ Pentru a aduce acest sistem
--------------------------------------------------------------------------------------------
Rangul unui sistem de vectori este numărul de vectori independenți liniar în el
Cum să găsiți:
Vom găsi. întâi multiplicați prima linie cu 20, a doua cu 15, a treia cu 12:
60, 40, -80
60, 15, -30
60, 24, - 36
Se scade primul din linia a doua și a treia, obținem:
60, 40, -80
0, -25, 50
0, -16, -6
Reducem prima linie cu 20, a doua cu 25, a treia cu 2
3, 2, -4
0, -1, 2
0, -8, -3.
Din linia a treia, scade 8 linii secunde, obținem:
3, 2, -4
0, -1, 2
0, 0, -19.
Adică, toate rândurile din matrice triunghiulare - non-zero, aceasta înseamnă că vectorii - sunt liniar independente (adică, nici unul dintre vectorii nu poate fi exprimată ca o combinație liniară de celelalte două), ceea ce înseamnă că rangul sistemului
din vectorii dat este de 3.
19. Conceptul de spațiu vectorial, spațiul euclidian. Descompunerea vectorului v în termenii vectorilor bazei sale. Teorema unicității pentru expansiunea unui vector pe o bază dată.
spațiu n-dimensional vector este un spațiu vectorial, în care vectorii sunt definiți operații de adunare, înmulțire cu numărul de vector și scalare multiplicarea vectorilor care satisfac axiomele grupele I, II, III și IV grupe.
Vector (sau liniar) spațiu este un set de R, care constă din elementele de orice natură (numite vectori), care definește operațiile de adunare și multiplicarea elementelor în sunt numere reale care îndeplinesc condițiile de la A (1-3 condiții exprese că operațiunea plus, definită în B ., etc transformă-l într-un grup comutativ).
Teorema. (Cu privire la extinderea unui vector în raport cu o bază.)
Orice vector al unui spațiu vectorial poate fi extins în baza și într-un mod unic.
Dovada. 1) Fie L o linie arbitrară (sau o axă) și o bază. Luăm un vector arbitrar. Deoarece ambii vectori sunt coliniari cu aceeași linie L, atunci. Noi folosim teorema asupra colinearității a doi vectori. Deci, cum. atunci există (există) un astfel de număr. că, prin același lucru, am obținut o descompunere a vectorului în raport cu baza spațiului vectorial.
Acum dovedim unicitatea acestei extinderi. Să presupunem contrariul. Să presupunem că există două descompuneri ale unui vector în raport cu baza unui spațiu vectorial:
și. în cazul în care. Apoi, folosind legea distributivității, obținem:
Deci, cum. atunci ultima egalitate implică asta. QED
20. Conceptul unui sistem ortogonal al vectorilor, o bază ortogonală. Găsirea coordonatelor unui vector pe o bază ortogonală.
La baza unui spațiu euclidian se spune că este ortogonală. Dacă toți vectorii care îl formează sunt paralel ortogonali, adică
Baza unui spațiu euclidian este numită ortonormală. dacă vectorii ei sunt pereche ortogonali și lungimea fiecăruia este egală cu una:
Teorema 8.5.V spațiu finit dimensional Euclidiană de orice set de (ortonormate) vectori ortogonali pot fi extinse la o grupare (ortonormală) bază ortogonală.
De fapt, prin Teorema 8.2 orice sistem de vectori liniar independenți, în particular, ortogonale (ortonormală), poate fi extinsă la o bază. Aplicând procesul de ortogonalizare pe această bază, obținem o bază ortogonală. Normalizarea vectorii din această bază (a se vedea alin. 4 comentarii 8,11), obținem o bază ortonormală.
Dacă lungimea vectorului este egală cu una, se numește vectorul normalizat: (x, x) = 1, | x | = 1.
Dacă toate vectorii sistemului de vectori sunt normalizați, atunci sistemul de vectori se numește sistem normalizat.