Definiția. Două dintre formula Boolean A și B se spune că sunt echivalente, dacă iau valoare logică odi-Nakova pe orice set de valori în interiorul depozitelor elementare propozitionale formula-TION.
Echivalența formulele vor fi notate cu semnul. și înregistrarea AB înseamnă că formula A și B sunt egale, lengerie.
De exemplu, echivalentul formulei:
Formula A este identic adevărat (sau o tautologie). în cazul în care este setat la 1 pentru toate valorile variabilelor sale membre.
De exemplu, sunt adevărate formule identice.
Formula A este identic fals, în cazul în care este setat la 0 pentru toate valorile variabilelor sale membre.
De exemplu, formula identic false.
Este clar că raportul de echivalență este reflexiv, simetrică și tranzitivă.
Între conceptele de echivalență și conexiune echivalent stimul următor există: în cazul în care formulele A și B sunt echivalente, atunci formula AB - tautologia și contactați-dar dacă formula AB - o tautologie, atunci formulele A și B sunt echivalente.
echivalență critică a algebra logicii pot fi împărțite în trei grupe.
1. echivalent de bază:
Vom dovedi una dintre legile de absorbție. Luați în considerare formula. Dacă în formula a = 1, atunci, în mod evident, în timp ce conjuncțiilor-TION a două declarații adevărate. Acum, să vfor catâr-A x = 0. Dar atunci, prin definiție a operațiunii Kon-conjuncțiile și conjuncție este falsă. Deci, în toate cazurile, valoarea formulei A coincide cu valorile-cheniyami și, prin urmare, Ax.
2. care exprimă o operație logică echivalent prin cealaltă:
Este clar că echivalența 5 și 6 se obțin din echivalențelor 3 și 4, respectiv, pe ambele părți, dacă acesta din urmă ia negarea și de a folosi legea îndepărtării dublei negației. Astfel, în dovada-stve nevoie mai întâi de patru echivalență. Dovedește două dintre ele: prima și a treia.
Deoarece la aceleași valori logice ale lui x și y sunt formule adevărate. . . voința adevărată și conjuncția. Urmează-secvență, în acest caz, ambele părți au aceleași valori de echivalență sunt adevărate.
Acum, să presupunem că x și y au diferite valori logice-TION. Apoi, va exista echivalență falsă, iar una dintre cele două sau implicațiile. Că, în același timp,
Este fals și conjuncția. Astfel, în acest caz, ambele părți au aceeași echivalență în valori logice.
Luați în considerare echivalența 3. În cazul în care x și y de extragere valoare simultan adevărat, va fi adevărat și fals coroborat xy negație conjuncție. În același timp, este falsă și și. și, prin urmare, lea este falsă și disjuncție.
Acum, să presupunem că cel puțin una dintre variabilele x și y este setat la fals. Apoi, va exista konyun fals Ktsia-hu și negația ei adevărată. În același timp, prin ritsanie cel puțin una dintre variabilele să fie adevărate, și deci va fi un adevărat și disjuncție.
Prin urmare, în toate cazurile, ambele părți sunt echivalente-Ness 3 au aceeași valoare logică.
dovedesc în mod similar echivalenței 2 și 4.
Equipollences Din acest grup, rezultă că întreaga-kuyu formula Boolean poate fi înlocuită cu formula la fel de bune s cuprinde doar două Kie de operații logice: o conjuncție sau disjuncție și negație și TION negație.
operațiuni care nu sunt posibile în plus o logică excepție. Deci, dacă folosim doar o conjuncție, are o astfel de formulă ca o negare a x nu poate fi exprimat prin funcționare Kon-conjuncții.
Cu toate acestea, există operațiuni cu care pot fi exprimate în oricare dintre cele cinci operații logice, pe care le folosim. Astfel de operații sunt Xia, de exemplu, operația „Barcode Schaeffer.“ Această operă-TION este notat cu x | y și determinată de monitorizare ing tabelul de adevăr:
Din aceste două equipollences rezultă că orice formulă Boolean poate fi înlocuită cu formula la fel de bune conținând numai operația „Barcode Schaeffer.“
operațiune poate fi pusă în aplicare în mod similar.
3. echivalează cu exprimarea legilor de bază ale algebra logicii:
1. x uuh - comutativitatea conjuncției.
2. xuyh - comutativitatea de disjuncție.
3. x (y g) (x y) z - asociativitatea conjuncții-TION.
4. x (y z) (xy) asociativitate z- disjuncție-TION.
5. x (Uț) (x y) (XZ) - conjunctions kon împărțire în ceea ce privește disjuncție.
6. x (yz) (XY) (X z) - distributivitatii Diz-conjuncții relativ conjuncție.
Să demonstrăm ultima dintre aceste legi. Dacă x = 1, atunci formula va fi adevărat (y z), xy. x z. Dar atunci va fi adevărat, și conjugarea (XY) (X z). Astfel, atunci când x = 1, ambele părți ale echivalenței 6 sunt valori logice identice (adevărat).
Acum, fie x = 0. Atunci x (y z) yz și xuu x z z, și, prin urmare, coroborat x (yz) YZ. Prin urmare, aici ambele părți ale echivalenței 6 puternic este egal cu aceeași formulă și, prin urmare, Prien UZ valorile logice mayutsya identice.
§ 5. Formulele de conversie echivalente
Folosind echivalare I, II și III, grupele pot fi parte a formulei sau formulă pentru un loi echivalent formă înlocui. Aceste formule se numesc transformare-TION este echivalent.
transformări echivalente sunt utilizate pentru a dovedi equipollences, pentru conducere formulele de tipul de date, pentru a simplifica formulele.
O formulă mai simplă este considerată a fi echivalentă cu ei în prim-plan-catâri, în cazul în care conține mai puține caractere, mai puține operații lo-cal. În această operație echidistante valență, în general, și a operațiunilor de implicare înlocuite de conjuncție și disjuncție și negație se referă la enunțuri elementare. Luați în considerare numărul de sub-meri.
1. Dovedește echivalența.
Folosind echivalența I, grupele II și III a scrie formule echivalente cu lanț:
2. Pentru a simplifica formula.
Scriem echivalentul șir de formulele:
Un astfel de set de M se numește algebra booleană.
Dacă sub elementele de bază x, y, z. impersona-Meva exprimare, în cadrul operațiunii „+“, „“, „-“ disjuncție conjuncție, negație, respectiv, iar semnul egalității privit ca un semn ravnosilnos-ti, atunci rezultă din equipollences I, II și grupele III toate axioma Boolean algebră efectuate.
În acele cazuri în care un sistem de axiome este posibil pentru a ridica anumite obiecte și relații specifice între ele, astfel încât toate axiomele vypol-gen- spun ca au gasit o interpretare (sau mo-del) a acestui sistem de axiome.
Prin urmare, algebra logicii este o interpretare a algebră din stânga-boo. algebra booleană are alte interpretări-TION. De exemplu, dacă, în elementele de bază x, y, z. înseamnă M seturi în operare-uri „+“, „“, „-“ Uniunea, intersecție, complement, respectiv, ca un semn de egalitate - seturi semn egal, vom ajunge la algebra de seturi. Nu este dificil, dar asigurați-vă că în algebra de seturi toate axiomele algebrei-riu Bull Run.
Printre diferitele interpretări ale algebrei booleene sunt interpretate și de natură tehnică. Una dintre ele vor fi discutate mai jos. Așa cum se va arăta, joacă un rol important în automatizare modernă.
Funcții booleene
După cum sa menționat deja, valoarea formulei algebra boom lo complet independent de valorile incluse în această fore-catâr declarații. Prin urmare, formula Boolean este o funcție elementară constitutivă deliv obligatoriu.
De exemplu, formula este o funcție de
trei variabile f (x, y, z). O caracteristică a acestei caracteristici este faptul că, de la caz la luarea sa de una dintre cele două valori: zero sau unu, și, prin urmare, de asemenea, funcția are una din cele două valori: zero sau unu.
Opredelenie.Funktsiey modificărilor boolean n-TION (sau funcția boolean) este o funcție ha re-variabile, în care fiecare variabilă este valori cu două-TION 0 și 1, și în care funcția poate primi acoperișuri la una dintre cele două valori: 0 sau 1.
În mod evident, formula identic adevărat și în mod identic fals de funcții booleene sunt permanente, iar cele două formule echivalente te-rage aceeași funcție.
Să vedem ce este numărul de funcții de n variabile. Oche-evident, orice funcție booleană (ca formula Boolean) pot fi setate folosind tabelul de cis-tinnosti care va conține 2 n rânduri. Investigator dar fiecare variabilă funcție n ia valori 2 n-ny constând din zerouri și cele. Astfel, fun-Ktsia n variabile complet definit printr-un set ZNA-Cheny de unu și zero de lungime 2 n. (Numărul total de pe vier format din zero-uri și altele, de lungime 2 n același. Prin urmare, numărul diferitelor funcții booleene de n variabile oricum.
În special, diferitele funcții ale unei variabile este de patru, iar diferitele funcții ale două variabile pol-unsprezece. Scriem toate funcțiile de algebra logicii una și două variabile.
Luați în considerare tabelul de adevăr pentru diferitele funcții ale unei variabile. Ea are în mod evident forma: