Prin intermediul unor operații logice pe enunțurile unui anumit set de enunțuri este posibil să se construiască diverse enunț complexe. În acest caz, ordinea operațiilor este indicată între paranteze. De exemplu, trei x Intervențiile, y, z poate fi construit, de exemplu, o astfel de declarație
Este o disjuncție conjuncției lui x, y și z exprimare.
Orice exprimare complexă, care poate fi obținut din declarațiile elementare prin aplicarea operațiilor negare logice ale conjuncție, disjuncție, implicație și echivalare numita formulă Boolean. Formulele de algebra logicii vor fi notate cu litere mari ale alfabetului A, B, C.
Pentru a simplifica notatia a adoptat o serie de acorduri. Parantezele pot fi omise, care aderă la următoarea procedură: conjuncția se efectuează înainte de toate celelalte operații, disjuncției se efectuează înainte de implicarea și echivalența. Dacă formula de mai sus este un semn de negare, paranteze sunt omise, de asemenea.
Valoarea logică a formulei Boolean este complet determinată de valorile logice ale situațiilor sale elementare constitutive. De exemplu, valoarea logică x cu formula y ®z dacă x = 1, y = 1, z = 0 să fie false, adică xy ®z = 0.
Toate valorile logice posibile, formule, în funcție de valorile situațiilor sale elementare constitutive, pot fi descrise complet prin intermediul unui tabel de adevăr.
De exemplu, pentru formula x y tabelul de adevăr ®y este dat în tabelul. 6.
Tabelul de adevăr pentru formula x y ®y
Este ușor de observat că, dacă formula conține declarații n elementare, este nevoie de valori 2n constând din unu și zero, sau ceea ce este același lucru, tabelul conține rânduri 2n.
Luați în considerare conceptul de ravnosilnostiformul boolean - două formule de boolean A și B, se spune că sunt echivalente în cazul în care iau aceleași valori logice pe orice set de valori în formulele declarațiilor elementare. Formulele de echivalență în mod tipic notată prin º simbol. O înregistrare și ° B înseamnă că formula A și B sunt echivalente.
De exemplu, echivalentul formulei
Formula A este identic adevărat (sau tautologie), dacă este setat la 1 pentru toate valorile variabilelor membre.
De exemplu, formula este adevărată sunt identice
Formula A este identic cu formula falsă. în cazul în care este setat la 0 pentru toate valorile variabilelor sale membre.
De exemplu, formula identic false
Este clar că raportul de echivalență are reflexivă, simetrică și tranzitivă. (atitudine
între două obiecte de
b se numește reflexiv în cazul în care un
a. simetrică în cazul în care un
o, și tranzitiv în cazul în care dintr-o
există următoarea relație între conceptele de echivalență și echivalență: dacă formula A și B sunt echivalente, formula A „B - tautologia și invers, dacă formula A“ B - tautologie formula A și B sunt echivalente.
echivalență critică a algebra logicii pot fi împărțite în trei grupe.
I. echivalent de bază:
2. x ÚLegile x ºx idempotența.
4. x Úși u º.
5. x l ° l.
7. - legea contradicției.
8. - legea mijloc exclus.
9. - negație involutiv.
11. x Ú (y x) º x - legi absorbție.
II. Echivalența care exprimă o operație logică, prin cealaltă:
Din acest grup equipollences rezultă că orice formulă de echivalent boolean poate fi înlocuită cu formula s, care cuprinde doar două operații logice: o conjuncție sau disjuncție și negare și negația.
Alte operații logice excepție imposibilă. Deci, dacă vom folosi doar o conjuncție, are o astfel de formulă ca o negare a x nu poate fi exprimată printr-o operație de conjuncție.
Cu toate acestea, există operațiuni în care pot fi exprimate în oricare dintre cele cinci operații logice care au fost folosite până în prezent. O astfel de operație este, de exemplu, operația „Barcode Schaeffer.“ Această operațiune este notată cu x | y, și este determinată de tabelul de adevăr (tabelul 7.).
Tabelul de adevăr pentru operația „Barcode Schaeffer“
Evident, sunt echivalente:
Din aceste două equipollences rezultă că orice formulă booleană poate fi înlocuită cu formula echivalentă conținând numai operația „Barcode Schaeffer.“
III. Echivalența care exprimă legile de bază ale algebra logicii:
1. huºuh - comutativitatea conjuncției.
2. x Úy ºy Úx - comutativitatea de disjuncție.
3. x (y z) º (x y) z - asociativitate conjuncției.
4. x Ú(y Úz) º (x Úy) Úz - asociativitatea disjuncție.
5. x (y Úz) º (xy) Ú (x z) - distributivitatii coroborat relativ disjuncție.
6. x Ú (y z) º (xÚy) (x Úz) - distributivitate relativ disjuncție conjuncției.
Folosind legile echivalare I. II și III pot face parte din grupările cu formula sau formula s înlocuite cu revendicări echivalente. O astfel de formulă de conversie pe baza legilor equipollences numit transformări echipotente.
transformări echivalente sunt utilizate pentru a dovedi equipollences, pentru conducere formulele de tipul de date, pentru a simplifica formulele.
Formula A este considerată a fi echivalentă cu aceasta formula mai ușor B. dacă conține mai puține scrisori operații logice mai puține. Atunci când această operație este de obicei înlocuită implicit și echivalenței disjuncție și conjuncție, și negația se referă la enunțuri elementare.