matrice elementară sunt utilizate pe scară largă în diverse probleme matematice. De exemplu, ele sunt baza cunoscutului Gauss (metoda de eliminare necunoscută) pentru rezolvarea unui sistem de ecuații liniare [1].
Prin transformări elementare includ:
1) două permutarea rânduri (coloane);
2) multiplicarea elementelor tuturor rândurilor (coloane) matrice într-un număr egal cu zero;
3) adăugarea a două rânduri (coloane) ale matricei înmulțit cu același număr diferit de zero.
Două matrici sunt numite echivalente. în cazul în care una dintre ele pot fi obținute de la celălalt după un număr finit de transformări elementare. În cazul general, ele nu sunt echivalente cu matrice egale, dar au același rang.
determinanți de calcul prin transformări elementare
Folosind transformările elementare se calculează cu ușurință determinantul matricei. De exemplu, este necesar să se calculeze determinantul matricei:
Apoi, putem lua factorul:
Acum, prin scăderea din coloana j -lea elemente care corespund elementelor din prima coloană, înmulțită cu. Obținem determinantul:
care este egală cu: unde
Apoi, repetați aceiași pași pentru, și în cazul în care toate elementele atunci vom obține în cele din urmă:
Dacă pentru orice factor determinant intermediar se dovedește că celula din stânga sus. este necesar să se rearanjeze rânduri și coloane în așa fel încât noul membru din stânga sus nu este zero a fost. dacă # 916; ≠ 0, atunci acesta poate fi întotdeauna făcut. Trebuie avut în vedere faptul că determinantul modificărilor semn în funcție de care element este principalul (de exemplu, astfel încât atunci când matricea este transformată că). Apoi, semnul determinantul corespunzător este.
EXEMPLU EXEMPLU. Folosind matricea de transformare elementare conduce
formă triunghiulară.
. R e w n e multiplice mai întâi primul rând 4 și al doilea (-1) și se adaugă primul rând la al doilea:
Acum multiplica primul rând 6 și al treilea de (-1) și se adaugă primul rând la al treilea:
În cele din urmă, înmulțim doilea șir de 2 și a treia la (-9) și se adaugă oa doua linie la al treilea:
Rezultatul este o matrice triunghiulară superior
Exemplu. Rezolva sistemul de ecuații liniare folosind un aparat de matrice:
. R e w n e a scrie acest sistem de ecuații liniare în formă de matrice:
Soluția acestui sistem de ecuații liniare în formă de matrice este:
unde - inversul matricei A.
Determinantul matricei Coeficientul A este egal cu:
în consecință, matricea A are o matrice inversă.
În primul rând, vom găsi matricea Adjoint Ã. care în acest exemplu are forma:
în care - cofactori ale elementelor respective ale matricei A.
În cazul nostru, obținem:
Apoi, matricea inversă este:
Acum vom găsi soluția sistemului de ecuații date. de atunci
Astfel, soluția la acest sistem de ecuații:
1. Demidovich BP Maron IA Bazele matematicii de calculator. - M. Nauka, 1970. - 664 p.
2. AI Malțev Bazele algebra liniara. - M. Nauka, 1975. - 400 p.
3. ÎN Bronstein Semendyaev KA Manualul de matematică pentru ingineri și studenți colegii tehnice. - M. Nauka, 1986. - 544 p.