Transformările rând elementare denumite:
- permutarea locațiile oricare două rânduri ale matricei;
- înmulțirea orice rând al matricei printr-o constantă k. k ≠ 0. în acest caz, factorul determinant crește ori k;
- plus față de orice alte linii rând ale matricei.
În unele cursuri în matrice algebra liniară de rânduri permutare nu este alocată o transformare elementară separată datorită faptului că inversarea oricăror două rânduri ale matricei se poate face folosind orice linie de multiplicare matrice printr-o constantă k. k ≠ 0 și adăugarea oricărui rând de alt rând, înmulțit cu o constantă k. k ≠ 0.
Sunt definite coloane transformări elementare în mod similar.
transformări elementare sunt inversabile.
Desemnarea A ~ B indică faptul că matricea A poate fi obținută de la B prin transformări elementare (sau invers).
Invarianța la transformări elementare de rang
Teorema (invarianta v rang sub transformări elementare).
În cazul în care A ~ B. apoi r a n g A = r a n g B A = \ mathrm B>.
Echivalența SLAE sub transformări elementare
Noi numim transformări elementare ale sistemului de ecuații algebrice liniare.- Ecuațiile de permutare;
- multiplicarea ecuației printr-o constantă nenulă;
- adăugarea unei ecuații la alta, înmulțit cu o constantă.
Teorema (echivalarea ecuații sub transformări elementare).
Sistemul de ecuații algebrice liniare, obținute prin transformări elementare ale sistemului original este echivalent cu acesta.
Să ne amintim că cele două sisteme sunt echivalente dacă acestea sunt același set de soluții.
Găsirea matricei inverse
Teorema (de a găsi matricea inversă).
Să determinantul matricei A n x n> nu este egal cu zero, chiar dacă matricea B este dată de B = [A | E] n × 2 n>. Apoi, în elementar rânduri ale matricei de transformare A la E matricea unitate constând din B în același timp, există o transformare a E A - 1>.
Transformarea matricei formei esalon
Noi introducem conceptul de matrici pas: Matricea A are un aspect în trepte. în cazul în care:- Toate zero de rânduri de A sunt cele mai recente;
- Pentru fiecare rând nenul al matricei A (lasa numărul său este egal cu k pentru definiteness) următoarele: dacă k j> - primul element nenul al liniilor k. apoi ∀ i. l. i> k. l ≤ j a i l = 0 = 0>.
Teorema (pe o matrice redusa la forma esalon).
Orice matrice prin transformări elementare numai pe rânduri pot fi reduse la eșalonul de formă.
Matricea elementară. Matricea A este o unitate, în cazul în care multiplicarea cu rezultate arbitrare matrice B în transformări elementare rânduri în matrice Q.