Determinarea setului comandat (x1. X2. X n) n numere reale denumite vector n-dimensional. iar numerele xi (i =) - componente sau coordonate ale vectorului.
Exemplu. Dacă, de exemplu, unele uzina de automobile se datorează pentru a elibera o deplasare la 50 de automobile, 100 camioane, 10 autobuze, 50 piese de kituri pentru autoturisme și 150 de seturi, programul de producție pentru camioanele și autobuzele acestei plante pot fi scrise ca un vector (50, 100 , 10, 50, 150) având cinci componente.
Desemnări. Vectori reprezintă litere mici sau litere aldine cu un bar sau săgeată în partea de sus, de exemplu, o sau. Doi vectori se spune că sunt egale. în cazul în care au același număr de componente și componentele lor sunt egale.
Componentele vectoriale nu pot fi interschimbate, de exemplu, (3, 2, 5, 0, 1) și (2, 3, 5, 0, 1) diferite vector.
Operații cu vectori. Produsul a vectorului x = (x1. X2. Xn) la un număr real # 955; Este un vector # 955; x = ( # 955; x1. # 955; x2. # 955; xn).
Vectorii spațiu. N vector -dimensional prostranstvoR n este definit ca setul de vectori n-dimensionale pentru care operațiile de înmulțire cu numere reale și adăugarea.
ilustrare economică. ilustrare economică a unui spațiu vectorial n-dimensional: spațiul de mărfuri (bunuri). Sub o marfă vom înseamnă un bun sau serviciu disponibil pentru vânzare la un anumit moment într-un anumit loc. Să presupunem că există un număr finit de produse de numerar n; valoarea fiecăreia dintre ele achiziționate de către consumator, caracterizat printr-un set de mărfuri
în cazul în care xi este notată cu numărul de beneficii i-lea, achiziționată de către consumator. Presupunem că toate produsele au proprietatea unui divizibilitate arbitrar, astfel încât să poată fi achiziționat cantități non-negative ale fiecăruia dintre ele. Apoi toate seturile posibile de mărfuri sunt vectori de mărfuri C =
independență liniară. Sistemul e1. e2. vectori em n-dimensional se numește liniar dependente. Dacă există un număr # 955 1. 955 # 2. # 955 m. dintre care cel puțin unul este diferit de zero, că egalitatea # 955 1E1 + # 955 2e2 +. + # 955 mem = 0; altfel sistemul de vectori este liniar independent. că este, această egalitate este posibilă numai atunci când toate. Sensul geometric al vectorilor de dependență liniară în R 3. interpretate ca segmente dirijate, ilustrate prin teorema următoare.
TEOREMA 1. Un sistem format dintr-un singur vector este dependentă liniar dacă și numai dacă vectorul este zero.
Teorema 2. Pentru ca cei doi vectori sunt liniar dependenți dacă și numai dacă acestea sunt colineare (paralele).
Teorema 3. Pentru cei trei vectori sunt liniar dependenți dacă și numai dacă acestea sunt coplanare (coplanare).
Stânga și în dreapta trei vectori. Troika non-coplanar vectori a, b, c se numește dreapta. În cazul în care observatorul originii lor comune ocolind toți vectorii a, b, c, în această ordine pare să comită sensul acelor de ceasornic. B În caz contrar, a, b, c - stânga triplu. Bine (sau stânga) triplete vector sunt numite odinakovoorientirovannymi.
Bazele și coordonatele. Troika e1, e2, e3 vectori noncoplanar în R3 este numită o bază. și ei înșiși vectorii e1, e2, e3 - bază. Orice vector poate fi un mod unic descompus de vectori de bază, care este reprezentat ca
ortonormală bază. Dacă vectorii e1, e2, e3 și reciproc perpendiculare pe lungimea fiecăruia dintre ei este egal cu unitatea, baza este numit ortonormal. și coordonatele x1. x2. x3 - dreptunghiular. Vectorii de bază ale unei baze ortonormală vor fi notate cu i, j, k.
Vom presupune că spațiul R3 este selectat drept un sistem de coordonate cartezian rectangular i, j, k>.
Proizvedenie.Vektornym produs vectorial al vectorului și în vectorul b este vectorul c. care este definit de următoarele trei condiții:
1. Lungimea vectorului c este numeric egală cu aria paralelogramului format prin vectorii a și b, r. F.
c = | a || b | sin (a ^ b).
2. Vectorul c este perpendicular pe fiecare dintre vectorii a și b.
3. Vectorii a, b și c. Luate în ordinea dată, formează un dreptaci.
Pentru vectorul este introdus produsul c notația c = [ab], sau
c = a x b.
Dacă vectorii a și b sunt coliniari, atunci păcatul (a ^ b) = 0 și [ab] = 0, în special [aa] = 0. Produsul vectorial al unit vectorilor: [ij] = k, [jk] = i. [Ki] = j.
Produsul amestecat. Dacă produsul transversală a doi vectori a și b înmulțit scalarly cu un al treilea vector c, care este produsul a trei vectori este numit produs în amestec și este notat ab c.
Produsul mixt are o interpretare geometrică simplă - este un scalar, valoarea absolută este egală cu volumul paralelipipedului construit pe trei vectori de date.
Dacă formează vectorii un dreptaci, au amestecat produsul are un număr pozitiv egal cu volumul specificat; în cazul în care trei dintre a, b, c - stânga, apoi a b c <0 и V = - a b c. следовательно V = |a b c|.
Coordonatele vectorilor găsite în primul capitol al sarcinilor asumate de a fi fixat în raport cu dreptul bazei ortonormal. Unitatea de vectori vector coliniare și este notat ca. Simbolul r = OM desemnează vectorul raza unui punct M, și simboluri, AB sau | a |. | AB | Modulele sunt identificate ca vectori și AB.
Primer1.2. Găsiți unghiul dintre vectorii a = 2m + 4n și b = m-n. unde m și n - unitate de vectori și unghiul dintre m și n este de 120.
Exemplul 1.3. Cunoscând vectorul AB (-3, -2,6) și BC (-2,4,4), se calculează lungimea AD ABC înălțime triunghi.
Decizie. Desemnând aria triunghiului ABC prin S, obținem:
S = 1/2 BC AD. Apoi AD = 2S / BC, BC = = = 6,
S = 1/2 | AB × AC | . AC = AB + BC. înseamnă vector AC are coordonatele
.
Primer1.4. Având în vedere doi vectori a (11,10,2) și b (4,0,3). Găsiți un vector unitate c, vectorii ortogonali a și b și direcționat, astfel încât un triplu ordonat de vectori a, b, c avea dreptate.
Decizie. Lăsați coordonatele vectorului c relativ la o bază ortonormală dreptului prin x, y, z.
Deoarece c ⊥ a, c ⊥ b. CA = 0, cb = 0. Pentru a realiza starea problemei impune ca c = 1 și b c> 0.
Au un sistem de ecuații pentru x, y, z: 11x + 10y + 2z = 0, 4x + 3z = 0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.
De la prima și a doua ecuațiile de a obține z = -4/3 x, y = -5/6 x. Substituind y și z în a treia ecuație avem: x 2 = 36/125, unde
x = ±. Utilizarea condiției a b c> 0, obținem inegalitatea
Dată fiind expresia pentru z și y rescrie inegalitatea obținută ca: 625/6 x> 0, ceea ce implică faptul că x> 0. Deci, x =. y = -. z = -.