Definiția. Două numere complexe, care au aceeași parte reală și coeficienții reciproc opuse ale părților imaginare se numesc reciproc) conjugat.
Pentru orice număr complex z există unul și numai un singur conjugat cu un număr complex, care este notat. În cazul în care. atunci. Evident, dacă și numai dacă z - un număr real.
Rețineți că suma și produsul a două numere complexe conjugate sunt numerele reale:
Anterior, o regulă de divizare a numerelor complexe au fost derivate. De obicei, este mai ușor poate fi obținut cu numere complexe conjugate.
Înmulțim numărătorul și numitorul - numărul de complex conjugatul numitor. Efectuați și separarea părților reale și imaginare, obținem:
Acest rezultat coincide cu formula obținută în sec. 6.
Această formulă nu poate aminti, amintiți-vă doar că divizia ar trebui să fie numărătorul și numitorul fracției înmulțit cu conjugata complexă a numitorului.
Teorema 1. Numărul, combinat cu suma sau produsul numerelor complexe este suma sau produsul numerelor, respectiv, conjugat conform cu numere complexe:
Dovada. Să. Apoi. Avem:
Această teoremă arată că, atribuind fiecărui număr complex conjugat cu el un număr, avem o mapare unu-la-unu din domeniul numerelor complexe K pe același domeniu, care păstrează operațiile de adunare și înmulțire.
Teorema 1 implică imediat următoarele
conjugat Corolar 1. Numărul (tip) de gradul de număr complex este egal cu același grad de conjugat dat:
Mai mult, în cazul în care ni se dă un polinom
ale căror coeficienți - numere complexe, apoi prin înlocuirea fiecărui conjugat coeficient număr complex, vom obține un nou polinom, notat prin
Dacă acum în variabila aleatoare polinomul primit pentru a înlocui valoarea conjugat a forței în teorema de mai sus și efectul polinomului am obținut valoare va fi un număr complex de conjugat la valoarea inițială a polinomului
În cazul în care, în special, toți coeficienții sunt numere reale, același polinomul și cu formula (3) dă:
Astfel, avem
Corolar 2. La înlocuirea unui polinom cu coeficienți reali, valori arbitrare ale numărului argumentul conjugat al valorii este de asemenea înlocuit cu un număr de conjugat polinom.
30. Un număr complex este numărul de specii. în cazul în care - numere reale - așa-numita unitate imaginară. Numărul se numește partea reală () a numărului complex. numărul se numește partea imaginară () a numărului complex.
- Acesta este un singur număr, nu plus. Reale și imaginare părți ale unui număr complex, în principiu, este posibil să se interschimba: sau repoziționarea unitatea imaginară: - a acestui număr complex nu se va schimba. Dar standardul este un număr complex este de obicei scris în această ordine.
Totul să fie clar, da doar o interpretare geometrică. Numerele complexe sunt reprezentate în planul complex:
După cum sa menționat mai sus, scrisoarea pentru a indica setul de numere reale chisel.Mnozhestvo zhekompleksnyh, de obicei, notate „grăsime“ sau litere îngroșate. Prin urmare, cifra ar trebui să fie plasat scrisoarea. ceea ce denotă faptul că avem un plan complex.
planul complex este format din două axe:
- axa reală
- axa imaginară
Termeni desenele de proiectare sunt aproape la fel ca și pentru desen într-un sistem de coordonate cartezian (vezi. Charts funcții elementare și proprietăți). Axele trebuie să specificați dimensiunea, nota:
unitate de-a lungul axei reale;
unitate imaginară de-a lungul axei imaginare.
Nu este nevoie să aplice toate valorile: ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... și.
Da, ceea ce este acolo pentru a pierde timpul pe fleacuri, ia în considerare numărul zece.
Am construit planul complex următoarele numere complexe:
. .
. .
. . .
Pe ce bază sunt marcate cu numere pe planul complex, cred că este evident - numerele complexe observate în același mod așa cum am observat un alt punct în 5-6 clasă pentru lecții de geometrie.
Luați în considerare următoarele numere complexe :. . . Tu spui, da, este numerele reale ordinare! Și vei fi aproape dreapta. numere reale - este un caz special al numerelor complexe. Axa reală reprezintă tocmai setul de numere reale. adică pe axa stau toate numărul nostru „normal“. Mai strict declarație poate fi formulată după cum urmează: Setul de numere reale este un subset al setului de numere complexe.
Numere. . - acesta este un număr complex cu partea imaginara zero.
Numere. . - este, dimpotrivă, un număr pur imaginare. și anume numărul cu o parte zero real. Acestea sunt situate strict pe axa imaginară.
Numerele. . . și părțile reale și imaginare nu sunt egale cu zero. Aceste numere sunt, de asemenea, desemnate puncte pe planul complex, astfel, ei au decis să efectueze vectorii de poziție de origine (marcate cu roșu pe desen). Raza de vectori la numerele, care sunt situate pe axele de obicei, nu iad, pentru că, în amestec cu axe.