În conformitate cu legea numerelor mari pentru a înțelege stabilitatea mediului: un număr foarte mare de fenomene aleatoare medie, rezultatele lor aproape încetează să mai fie aleatorii și poate fi prevăzut cu un grad ridicat de certitudine. Conform legii numerelor mari în teoria probabilității se referă la un număr de teoreme, fiecare dintre acestea fiind stabilite prin faptul de abordare a caracteristicilor medii ale unui număr mare de teste la unele anumite constante.
Teorema 1 (inegalitatea lui Markov). Fie X - o variabilă aleatoare pentru care există așteptări. Dacă P (X <0)=0, то
Prin ipoteză P (X <0)=0, следовательно, случайная величина Х принимает лишь неотрицательные значения.
1) Fie X - variabilă aleatoare discretă. atunci
2) Fie X - variabilă aleatoare continuă. atunci
Judecă probabilitatea ca 3600 tosses independente ale unui număr mor de apariții de 6 puncte nu este mai mică de 900.
Noi folosim inegalitatea Markov și proprietatea așteptării
Teorema 2 (inegalitatea lui Cebîșev). Pentru oricare dintre variabila aleatoare X având așteptări M (X) și dispersia D (X), precum și pentru orice număr inegalitate pozitiv:
Eveniment sau echivalent
Prin Teorema 1, obținem:
Notă. Revenind la evenimentul opus, inegalitatea Cebîșev poate fi scris ca :.
Probabilitatea unui eveniment A în fiecare studiu este de 0,5. Estimați probabilitatea ca numărul de apariții ale lui A vor fi introduse în de la 40 la 60 100 de studii independente.
Teorema 3 (teorema lui Cebîșev). În cazul în care variabilele aleatoare:
1) reciproc independente;
2) au așteptări;
3) dispersie sunt limitate în total (adică, pentru fiecare k de la 1 la n este efectuată);
apoi, pentru orice număr pozitiv se efectuează:
Luați în considerare o variabilă aleatoare.
Noi folosim inegalitatea Cebîșev:
(Tinde la 0)
Notă. În cazul în care condițiile de teorema lui Cebîșev, se spune că creșterea nelimitată în numărul n de media aritmetică a variabilelor aleatoare converge în probabilitate la media așteptărilor lor matematice:
Teorema 4 (Khinchine teorema). În cazul în care variabilele aleatoare:
1) reciproc independente;
2) sunt distribuite în mod identic;
3) au așteptări m;
Teorema 5 (teorema lui Bernoulli). Un eveniment de frecvență în studiile independente n converge în probabilitate probabilitatea unui eveniment A într-un test:
Teorema lui Bernoulli fundamenteaza definiția statistică a probabilității.
Teorema de mai sus (legea numerelor mari) pentru a stabili faptele media unui număr mare de variabile aleatoare pentru a determina constantele. Dar nu sunt limitate la modelele care rezultă din suma variabilelor aleatoare. Se pare că, în anumite condiții, efectele combinate ale variabilelor aleatoare conduce la legea de distribuție normală.