Teorema fundamentală a algebrei.
Orice polinom non-Const asupra numerelor complexe are cel puțin o rădăcină.
Corolar 1. Orice polinom non-Const asupra numerelor complexe factori de corecție într-un produs de factori liniari:
Aici - coeficientul de conducere - toate rădăcini diferite complexe ale unui polinom - multiplicitate. egalitatea
Dovada acestei anchete poate fi realizată prin inducție la gradul polinomului. Pentru un polinom liniar este banal. Să corolarul este valabil și pentru polinoame de grad mai mic de și ni se dă un polinom de grad Conform teoremei fundamentale a algebrei numerelor complexe, polinom are o rădăcină. Prin teorema lui Bézout, diferența se divide. și anume Polinomul este de grad, și se aplică ipoteza de inducție. Extinderea și factori liniari, vom descompune astfel polinomul în factori liniari. După aceasta trebuie să fie colectate într-un singur grad de factori liniari cu aceleași rădăcini?
Corolar 2. Orice polinom non-Const asupra numerelor reale factori de corecție într-un produs de factori liniari și trinomials pătrați, cu discriminantă negativ:
Aici - toate diferitele rădăcini reale ale polinomului. - multiplicitate, toate discriminantă este mai mică decât zero, iar polinomul patratica sunt distincte.
Dovada Corolar 2 se bazează pe Lema
Lema. Să - rădăcini complexe ale unui polinom cu coeficienți reali. Apoi, conjugatul este, de asemenea, o rădăcină.
Dovada. Să. Cu condiția. atunci
Aici am folosit egalitatea și interfața homomorphic.
Dovada Corolar 2 dețin, de asemenea, pentru inducerea ca dovadă a Corolar 1. Baza de inducție este clar, justifică etapa de inducție. Să - rădăcini complexe ale unui polinom. În cazul în care. finisajul precum și în dovada Corolarul 1. Fie. și anume . Apoi, prin teorema lui Bézout, polinomul poate fi reprezentat ca
Notăm. și anume . deoarece
și apoi - numerele reale. Apoi - un polinom cu coeficienți reali, care se poate aplica ipoteza de inducție.
Dovada este finalizată.
Exemple. A. descompunem polinomul în factori ireductibili. Printre subgrupe ale unui membru constant al 6 în căutarea rădăcinilor polinomului. Vedem că 1 și 2 - rădăcinile. Astfel polinomul este divizibil cu. Prin împărțirea, vom găsi
- descompunerea finală peste câmp. Pentru discriminantă polinomial pătratică este negativ și, prin urmare, peste câmpul numerelor reale nu se descompune în continuare. Descompunerea polinomului asupra numerelor complexe pe care le vedem dacă putem găsi rădăcinile complexe ale polinomului pătratic. Ele sunt. atunci
- extinderea polinomului peste
B. Extindem peste câmpuri de numere reale și complexe. Deoarece rădăcinile reale ale acestui polinomiale nu este, acesta este descompus în două trinom pătrat cu discriminantă negativ
Deoarece înlocuirea unui polinom nu se schimba, această substituție trinom pătratică trebuie să se deplaseze în și vice-versa. De aici. Echivalând coeficienții de a obține, în particular. Apoi, de la (obținut prin substituirea extractului. Și, în cele din urmă. Deci,
- extinderea domeniului de numere reale.
Pentru a descompune polinomului activ peste numere complexe, vom rezolva ecuația conform formulei (3) p. 4. Aici. Prin urmare,
- descompunerea numerelor complexe. Este ușor să se calculeze
și avem o soluție diferită de problema extinderii polinom de domeniul numerelor reale.