1. Probabilitatea unui eveniment cum ar fi
2. Probabilitatea și informații
3. Axiomele teoriei probabilității
Fiecare experiment se încheie orice anumit rezultat, care nu este întotdeauna posibil să se prevadă în avans. Pentru a descrie în mod oficial unele experiment, trebuie să specificați toate rezultatele posibile ca experimentul ar putea pune capăt. În teoria probabilitatilor, aceste rezultate sunt numite rezultate. MnozhestvoW toate rezultatele posibile ale unui experiment se numește spațiul de evenimente elementare. Se presupune că experimentul ar putea încheia într-unul și un singur rezultat elementar. În cel mai simplu caz, toate aceste rezultate pot fi enumerate:
Un astfel de spațiu se numește rezultate elementare discrete.
Cel mai simplu spațiu de evenimente elementare este un spațiu în care toate aceste rezultate considerate experiment:
2) incompatibile între ele (adică, unul și numai unul dintre aceste rezultate pot să apară ca rezultat al experimentului)
3) toate rezultatele formează un grup complet de evenimente (adică fără alte rezultate decât cele enumerate nu pot să apară).
Acest spațiu se numește spațiu și, desigur, la fel de posibile rezultate (sau spațiu simetric).
Exemplul 1. Când banul simetric două rezultate posibile - cozi de pierdere sau emblema. Ele îndeplinesc toate cele trei dintre condițiile de mai sus și, prin urmare, în acest caz, spațiul de evenimente elementare pare asa (cozile aici literele P și G sunt desemnate și stema, respectiv):
Exemplul 2. Cu aruncarea simultană a două rezultate monede sunt ordonate perechi compuse din simbolurile R și G. Primul element al perechii - rezultatul, precipitatul în prima monedă, al doilea element - rezultatul celei de a doua monede. Este evident că astfel de perechi - patru:
Exemplul 3. In cazul aruncarea unei matrițe poate cădea oricare din numerele 1, 2, 3, 4, 5, 6. Prin urmare, spațiul de evenimente elementare
EXEMPLUL 4 simultane două zaruri aruncand rezultate elementare sunt perechi de (x, y), unde x - numărul de puncte pe care a căzut pe prima matriță, și y - numărul de puncte în al doilea os. Toate aceste perechi - 36:
În probabilitate spațiu discret fiecărui rezultat elementar predeterminat este considerat și notat cu P (wi), sau pur și simplu pi. și întotdeauna
)
și anume suma (finit sau infinit) probabilitatilor tuturor evenimentelor elementare este una. Rezultatele elementare noi numim evenimentul elementar.
este format orice subset de evenimente elementare spațiu de evenimente elementare W. a spus că „evenimentul A avut loc“, când experimentul sa încheiat unul dintre rezultatele elementare Wi ÎA.
Probabilitatea unui eveniment A este suma probabilităților tuturor evenimentelor elementare aparținând A, adică P (A) =
. Din această definiție, probabilitatea evenimentelor rezultă că întotdeauna 0 £ P (A) £ 1.
În cazul în care la fel de probabile rezultate probabilitate elementar evenimentului A este determinată de formula
,
- numărul de elemente din W set, care este de obicei numit „numărul total de rezultate“, și
- numărul de elemente din setul A, numit „numărul de rezultate favorabile.“
Eveniment `Un format din toate evenimentele elementare, non-A, se face referire la eveniment opus evenimentului A. Acest lucru se întâmplă dacă și numai dacă evenimentul A nu a avut loc. Este evident că P (A) + P (A „) = 1. Această ecuație este utilizată pentru a calcula probabilitatea unui eveniment A, atunci când probabilitatea evenimentului opus este cunoscută sau poate fi ușor de găsit, atunci P (A) = 1 - P (A“) .
Astfel, pentru a calcula probabilitatea ca fiecare sarcină este importantă pentru a determina ce experimentul, pentru a construi în mod corespunzător corespunzător spațiului eșantionului W și alocă-l la eveniment A. Apoi, folosind metode combinatorii, pentru a contoriza numărul de elemente în W și A.
Problema 1. Caseta 5 4 portocale și mere. 3 fructe selectate aleatoriu. Care este probabilitatea ca toate cele trei fructe - portocale?
Decizie. evenimente elementare sunt aici probă care cuprinde 3 fructe.
Decizie. Deoarece ordinea este indiferentă, presupunem că proba dezordonate (și, desigur, fără repetiții). Numărul total de evenimente elementare
este egal cu numărul de moduri de a selecta 3 elemente de 9, adică, n = numărul de combinații
. Numărul de rezultate favorabile m =
Acesta va fi egal cu numărul de moduri de a alege trei portocale disponibile 5, adică numărul de combinații de trei elemente 5, adică
.
Sarcina 2: Profesorul oferă fiecare dintre cei trei elevi de a concepe orice număr de la 1 la 10. Având în vedere că alegerea fiecăruia dintre orice număr de studenți dat ravnovozmozhen, găsiți probabilitatea ca unele dintre ele concepute de meci.
Decizie. Calculăm primul număr total de rezultate. Rezultatele Elementare își va asuma colecțiile ordonate concepute de numere: N1. N2. N3. în care N1 - numărul de studenți în primul rând conceput, N2 - al doilea și N3 - prima treime din ele selectează unul dintre numerele 10-10, caracteristici ale doilea face același lucru - 10 posibilități, în cele din urmă, alegerea celei de a treia sondă 10 posibilități. Conform teoremei fundamentale a combinatorică numărul total de metode vor fi:
n = N1'N2'N3 = 10 martie = 1000 evenimente elementare.
Numărarea numărul de rezultate favorabile este mai complicată. Rețineți că numerele de coincidență concepute pot apărea în orice pereche de elevi (sau chiar în același timp, toate trei). Pentru a dezasambla separat toate aceste cazuri, este convenabil pentru a merge la eveniment opus, și anume, contoriza numărul de cazuri în care toate cele trei elevi concep numere diferite. Prima dintre ele are încă 10 moduri de a alege numere. Al doilea elev are acum doar 9 posibilități (ca el trebuie să aibă grijă ca numărul său nu coincide cu zămislit printre primii studenți N2 ¹N1 treilea elev este chiar mai limitat la alegere -. El are un total de 8 oportunități (de la 10 posibile la N3 excluse două numere ..: N3 ¹N1 N3 ¹N2) prin urmare, numărul total de combinații de numere concepute în care nu există nici un meci, nici de aceeași fundamentală teorema m = 10 x 9 x 8 = 720. cazuri rămase 1000-720 = 280 sunt caracterizate ca având cel puțin un meci . În consecință, probabilitatea este necesară o coincidență R = 280/1000 = 0,28.
Problema 3. Găsiți probabilitatea ca un număr de 8 cifre exact 4 cifre sunt aceleași, iar restul sunt diferite.
Decizie. Evenimentul A =. Dintre condițiile problemei, rezultă că printre cele 5 numere diferite, dintre care unul se repetă - numărul de moduri de alegerea ei - fie de 10 cifre, iar această cifră are loc în oricare 4 numere - numărul de moduri
. Cele 4 locuri rămase ocupă un număr diferit de 9 neutilizate, iar din moment ce numărul depinde de ordinea numerelor, atunci numărul de moduri de a alege patru cifre egale
. Apoi, numărul de rezultate favorabile
. În general, metodele de elaborare a unui număr de 8 cifre este | W | = 10 8. Probabilitatea este necesară
.
Problema 4: Cele șase clienți tratați în mod aleatoriu în 5 companii. Găsiți probabilitatea ca firma cel putin un nici un apel.
Decizie. Luați în considerare evenimentul opus
, care constă în faptul că, în fiecare dintre cele 5 companii a cerut clientului, apoi unii au devenit două persoane, iar în celelalte 4 firme - un singur client. astfel de oportunități
. Și doar modalități de a distribui 6 clienți 5 firme
.
Problema 5. Sunt 5 „fericit“ Printre examinarea biletelor 25 și 20 „nefericit“. Studenții sunt potrivite pentru cel de bilete de unul, la rândul său. Cine are mai mult probabilitatea de a extrage un „norocos“ bilet: unul care a venit primul sau cel de-al doilea care a venit?
Decizie. Să biletele „fericit“ au numere 1,2,3,4,5. Vom nota cu numărul biletului i1, să ia primul elev prin intermediul I2 - numărul biletului, ia al doilea elev, atunci rezultatul va fi un cuplu de elementar
, și spațiul de evenimente elementare
Aici toate rezultatele elementare sunt la fel de probabil. Evenimentul are forma A =