Rezumat 9 elev de clasa „A“ număr mare de școală 1054 Valisheva Timur
1. Introducere.
La prima vedere poate părea că nici o lege care guvernează evenimente aleatoare nu și nu pot. Cu toate acestea, dacă te uiți, evenimente aleatoare nu apar atât la întâmplare. În multe cazuri, legile sunt găsite. Aceste legi nu sunt ca legile ordinare ale fenomenelor fizice; acestea sunt foarte diverse.
Să luăm, de exemplu, jucând o monedă. Când aruncarea poate fi două rezultate la fel de probabil: moneda poate cădea în sus creasta sau cozi. Aruncă o monedă odată ce este imposibil de prezis care parte va fi partea de sus. Cu toate acestea, a aruncat o monedă de 100 de ori, putem trage concluzii. Este posibil să spunem dinainte că stema nu va cădea 1 sau 2 ori, și mai mult, dar nu 99 și nu 98 de ori, dar mai puțin. Numărul de capete va fi aproape de 50. De fapt, și experiența poate fi convins că acest număr va fi încheiat între 40 și 60.
Același lucru este determinat statistic ca 1000 de copii au 511 băieți și 489 fete (adică, 48,9% și 51,1%, respectiv). Această constanță izbitoare a remarcat de către mulți cercetători, printre ei Simon Laplace, unul dintre fondatorii teoriei. Această informație ne permite să prezică cu o mai mare precizie probabilitatea numărului de băieți și fete într-un anumit an (acest calcul, de exemplu, proiectul de bord utilizat).
2. Definiții și concepte de bază ale teoriei.
Ne întoarcem acum la teoria expresiei algebrice. Aceasta este definiția clasică:
Definiție: Să set de rezultate ale unui experiment constă din n rezultate la fel de probabile. Dacă m dintre ele favorizează evenimentul A, probabilitatea unui eveniment A este numărul
Prin acordarea acestei definiții, ne așteptăm (datorită probabilității egală a rezultatelor experimentului), cu repetarea-n ori experiența evenimentului A are loc în cazul (care este valoarea practică a teoriei este că).
Este necesar să se explice câteva concepte ale teoriei, care vor fi necesare în viitor:
Important eveniment - un eveniment care este sigur să se întâmple, ca urmare a experienței. Un astfel de eveniment este desemnat prin litera E (preconizată)
Imposibil eveniment - un eveniment care nu poate să apară ca rezultat al experienței. Un astfel de eveniment este desemnat de litera U (Unreal)
Evenimente incompatibile - evenimente care nu pot apărea ca urmare a experienței în același timp.
Evenimente comune - evenimente care pot apărea ca urmare a experienței în același timp.
Eveniment Un eveniment favorizat B, în cazul în care faptul că nu trebuie B. Un eveniment de eveniment (adică)
Unirea evenimentelor A și B este evenimentul care constă în faptul că, ca urmare a experienței a fost cel puțin unul dintre aceste evenimente (de exemplu).
Intersecția evenimentelor A și B se numește un eveniment care constă în faptul că, ca urmare a experienței a avut loc atât acestor evenimente (adică).
Legea numerelor mari.
Fie K timp am făcut testul, și ca rezultat ori N experiența a fost un eveniment A. Apoi, numărul va fi numit frecvența de apariție a evenimentului A. Legea numerelor mari afirmă că probabilitatea unui eveniment A este egal
(În cazul în care N și K sunt necunoscute la noi), putem alege întotdeauna o suficient de mare N, la relația:
în cazul în care (epsilon) - arbitrar mic pozitiv inegal la numărul zero.
Aceasta înseamnă că pentru un număr suficient de mare de încercări frecvența de apariție a unui anumit eveniment este arbitrar puțin diferită de zero.
Această relație face posibilă stabilirea empiric o bună aproximare a unei probabilități necunoscute de evenimente.
3. Obiective și exemple.
Primele calcule ale probabilităților de evenimente a început în secolul XVII, cu șansa de numărare jucători în jocuri de noroc. În primul rând a fost un joc de zaruri.
Aruncă zarurile. Care este probabilitatea ca numărul scăzut de 5?
Există 6 opțiuni pentru pierderea de masa osoasa (n = 6). Toate aceste opțiuni sunt la fel de probabile, deoarece os se face astfel încât toate părțile să aibă aceeași șansă de a fi de mai sus, prin urmare, m = 1; așa
În cazul în care R (5) - probabilitatea de cinci.
Care este probabilitatea ca în aruncarea laminate un număr par de puncte?
Oportunitati aici sunt trei: 2; 4; 6. Prin urmare, m = 3, toate rezultatele 6 (n = 6), prin urmare,
În cazul în care P (chiar și număr.) - probabilitatea de a obține un număr par.
Aruncat 2 zaruri și se calculează cantitatea de puncte a scăzut. Că probabilitatea - pentru a primi un total de 7 sau 8?
Aici este setul de rezultate de experiență: „În total, a scăzut cu 2 puncte“, „În concluzie, a scăzut 3 puncte“, ..., „În concluzie, a scăzut cu 12 de puncte.“ Suntem interesați de evenimentul A = «a scăzut cu 7 puncte“ și B = «a scăzut cu 8 puncte.“ Dar nu este la fel de rezultate probabile ale experienței cum ar părea la prima vedere. Într-adevăr, în valoare de 2 se poate transforma în mod unic 2 = 1 + 1 și 1 + 4 = 3 și 4 = 2 + 2, prin urmare, șansele ca laminate 4 mai. Luați în considerare un set de evenimente „a scăzut k puncte pe un os și alte oase p a scăzut puncte.“ . Dar nu este la fel de rezultate probabile. Pentru a obține experiență sfârșitul echiprobabile, am vopsea oasele în diferite culori (alb-negru). Ca urmare, ne-am „căzut pe alb puncte zaruri k in negru - p». Notam (k, p). Două dintre aceste evenimente incompatibile între ele. Numărul tuturor rezultatelor posibile n = 62 = 36 (fiecare din cele 6 puncte pot fi combinate cu oricare dintre cele 6 puncte pe zaruri negre zaruri albe). Dintre acestea 36 A rezultate eveniment sunt rezultate favorabile: (1, 6); (2, 5); (3, 4); (4, 3); (5, 2); (6: 1), adică total de 6 (m = 6). Conform formulei, avem:
Eveniment B sunt rezultate favorabile: (2, 6); (3, 5); (4, 4); (5, 3); (6, 2), adică numai 5. Conform formulei, avem:
, Prin urmare, primesc un total de 7 puncte - eveniment mai probabil decât obținerea 8.
Această problemă a fost rezolvată pentru prima dată de jucători în oase, și apoi - rezolvate matematic. Ea a devenit una dintre primele din discuția despre care a început să ia forma teorie.
Caseta 20 este identic cu bile la atingere. Dintre acestea, 12 alb și negru 8. Ghicitori este scos mingea. Care este probabilitatea ca această minge este de culoare albă?
Ca rezultat al acestui experiment poate avea loc 2 evenimente: „. Și B =« desen o bilă albă“A =« bila neagră excavat Dar aceste două evenimente nu sunt la fel de probabil, pentru că bile albe mai mult. Pentru a obține o multitudine de bile la fel de rezultate probabile sunt numerotate: 1 până la 12 - alb și 13 - 20 - întuneric. Toate evenimentele Ek = «scoate numărul k pasă“, la fel, pentru că bilele sunt imperceptibile la atingere și sunt eliminate pentru noroc. Mai mult decât atât, toate cele 20 de evenimente Ek și rezultatele sunt stabilite experiența noastră, de aceea, n = 20. Dintre acestea 12 interesant pentru noi evenimente favorabile B, prin urmare, m = 12. Prin urmare,
Acest lucru înseamnă că, cu o probabilitate de 0,6 (60%), vom scoate bila albă.
În teorie, există un astfel de lucru ca evenimente independente. Fiecare dintre noi avem o idee intuitivă a independenței evenimentelor. De exemplu, înțelegem că, dacă te arunci două monede, apoi care a căzut pe o monedă, nu depinde de faptul că a căzut într-o altă. dar, pentru că Teoria - știința matematică, este necesar să se dea o definiție exactă a independenței evenimentelor.
Definiție: Două evenimente A și B se numesc independente dacă egalitatea:
Doi vânători, în mod independent unul față de celălalt, în același timp, tragere la iepurele de câmp. Hare va fi ucis dacă lovit amândoi. Care sunt șansele de a supraviețui unui iepure, în cazul în care primul vânătorul scade cu probabilitate de 0,8, iar a doua, cu o probabilitate de 0,75?
Luați în considerare două evenimente A = „Hare a primit primul vânător“ și B = „iepure de câmp a primit două vânător.“ Suntem interesați în cazul (a apărut și anume un eveniment, iar evenimentul A și B). Datorită independenței de evenimente, avem:
Acest lucru înseamnă că trage în 6 din 10 Hare.
Este cunoscut faptul că pentru fiecare 10 au un singur bilet câștigător. Care este probabilitatea de a câștiga, în cazul în care există 50 de bilete?
Conform formulei cunoscute ușor de calculat că probabilitatea de a câștiga un bilet de 0,1; probabilitatea ca el va câștiga 0,9. Câștigătoare și pierde biletele fiecare independent unul față de celălalt. Probabilitatea ca nu câștigă primul bilet 0.9. Probabilitatea ca al doilea nu va câștiga prea 0,9. Apoi, probabilitatea ca nu va câștiga nici primul, nici al doilea, prin definirea unor evenimente independente
În mod similar, ne arată probabilitatea ca nu va câștiga primul 3 bilet este 0,93; și probabilitatea ca nu toate câștiga 50 bilete = 0,950; și anume aproximativ 0,005. Prin urmare, probabilitatea de a câștiga cel puțin un bilet de 0.995 (99,5%).
Un cavaler francez, de Mere, un jucător pasionat în os. A încercat din răsputeri să se îmbogățească și să vină cu aceste diferite reguli complicate.
El, în special, a venit cu următoarele reguli: 4 arunca zarurile și el lovește pariu că cel puțin o scădere 6. Se crede că, în cele mai multe cazuri, acesta va rămâne în victorie. Pentru a confirma acest lucru, el a apelat la vechiul său prieten - Blaise Pascal, cu o cerere pentru a calcula probabilitatea de a câștiga în acest joc.
Aici este calculul lui Pascal.
La fiecare probabilitate aruncarea evenimentului A = «a scăzut șase“ =. Probabilitatea evenimentului B = «nu a scăzut șase“ =. Cuburile sunt independente unul față de celălalt, prin urmare formula
probabilitatea ca șase nu va cădea de două ori la rând este
În mod similar, se arată că probabilitatea de a arunca o triplă nevypadeniya 6 este
Și cu o perioadă de patru ori -
Și, prin urmare, probabilitatea de a câștiga. Deci, de fiecare dată când jocul a fost mai mult de jumătate șansa ca câștig de Mere; sub joc repetate, probabil, el a rămas în victorie.
Este rezonabil să ridice problema a ceea ce ar trebui să fie probabilitatea evenimentului, astfel încât să puteți lua în considerare semnificative? Este cunoscut faptul că aproximativ 5% din concertul desemnat anulat, dar acest lucru nu ne împiedică să cumpere bilete. Dar dacă 5% din accidente de avion, este puțin probabil ca cineva a început să folosească transportul aerian.
În timp de pace nu risca viata ta, atunci probabilitatea unui rezultat nefavorabil pentru a fi, aparent, nu mai mult de 0,0001. Diferite persoane au atitudini diferite față de risc, dar este evident că, chiar și cel mai prudent ușor pentru a merge la risc în cazul în care probabilitatea unui rezultat nefavorabil este 10-5. De exemplu, probabilitatea lovit de o mașină într-un oraș mare 10-7. Deci, putem presupune că un eveniment cu o probabilitate de un rezultat negativ 10-7 pot fi considerate fiabile, dar accidente se întâmplă în fiecare zi.
Cu toate acestea, probabilitatea unui eveniment imposibil, cei mai mulți oameni de știință a estimat ca 10-16.
4. Metoda "Monte Carlo".
definiție. Monte Carlo - o metodă numerică pentru rezolvarea problemelor matematice folosind simularea variabilelor aleatoare.
Baza teoretică a metodei a fost mult timp cunoscut, dar este utilizat pe scară largă numai de la apariția calculatoarelor, deoarece simula manual variabile aleatoare - ocupație consumatoare de timp.
Însăși numele metodei - „Monte Carlo“ este derivat din numele orașului în Principatul Monaco, faimos pentru casele sale de jocuri de noroc. Faptul că cel mai simplu dispozitiv pentru simularea variabilelor aleatoare este ... Ruleta. Problema cel mai frecvent întrebat este, desigur, „dacă metoda ajută să câștige la ruletă.“ Nu, din păcate, nu ajuta.
Noi acum trece direct la matematica. Pentru a înțelege ce este în joc, vom da un exemplu foarte simplu de aplicare a metodei.
Să presupunem că doriți să calculați suprafața cifra indicată în figură. Să presupunem că se află în interiorul unității pătrat.
Am ales în cadrul unității pătrat N puncte aleatorii. Notăm numărul N“de puncte care se încadrează în această cifră. Apoi, această cifră va fi aproximativ egală cu suprafața.
Cifra doar 30 de puncte. 12 dintre ei au fost în formă, în timp ce zona adevărată a figurii este egal cu 0,48.
Prima caracteristică - algoritm de calcul simplu. De obicei, componentele programului pentru un test aleator, și este de N ori se repetă. Prin urmare, metoda este adesea numita metodă de testare statistică
A doua caracteristică - eroarea este de obicei proporțională cu unde D = const, N - numărul de teste.
Diverse probleme pot fi rezolvate prin diferite variante ale metodei, care, de altfel, foarte mult. Pentru fiecare opțiune - valoarea D și, în consecință, valoarea de eroare.
Folosirea unor metode poate simula orice flux de proces este asociat cu valori aleatoare. Vă puteți gândi la modelul artificial probabilist pentru sarcini care nu sunt legate de accident.
Există tabele speciale pentru generarea de numere aleatoare, care este utilă în special pe computerele de fiecare dată când vom lua pur și simplu numărul următor și de a folosi ca accidentale. Dar pentru a face o astfel de tabel nu este la fel de ușor cum ar părea. Există teste speciale pentru a verifica corectitudinea unei secvențe aleatoare.
Metoda semnificație practică este foarte mare. Cu acesta, de exemplu, puteți calcula fiabilitatea oricărui produs, sau pentru a calcula traiectoria de neutroni care trec prin placa sau poziția unui electron la un moment dat