distanțe
Să - graf neorientat conectat. Deoarece oricare două noduri sunt conectate, și apoi există capete cu lanț simplu și. Aceste circuite pot fi mai multe. Lungimea lor este de numere întregi non-negative. În consecință, între vârfurile și trebuie să fie simplu lanț de lungime minimă. Lungimea lanț de cea mai mică lungime de conectare de sus și. notat cu și se numește distanța dintre vârfurile și. Prin definiție.
Este ușor de văzut că conceptul introdus în acest fel distanța satisface axiomele o valoare:
2. dacă și numai dacă;
4. adevărat inegalitatea triunghiului:
Pentru distanta vertex fixat cel mai îndepărtat vârful de la ea :. numita excentricitatea (maksimalnymudaleniem) picurilor.
Diametrul graficului este numărul. egală cu distanța dintre cel mai îndepărtat de la fiecare alte noduri grafic:
Un circuit simplu a cărui lungime este egală. Se numește diametralnoytsepyu. Evident, diametrul graficului este cea mai mare dintre toate nodurile excentricități. Vertex se numește periferic. în cazul în care.
Minimul de excentricitatea vârfurile unui grafic conectat se numește raza sa și să indice:
Deoarece numărul este egal cu cel mai mare diametru al excentricitățile nodurile, iar raza - cel mai mic, raza graficului nu poate fi mai mare decât diametrul său. Vertex este numit centru. în cazul în care. Setul de toate nodurile centrale ale graficului se numește centrul său. Count centru poate fi un nod sau mai multe noduri. Există coloane, centrul, care coincide cu setul de noduri sale. De exemplu, un centru de lanț simplu este format din două vârfuri cu un număr par de vârfuri sale și unul - un ciudat, și toate nodurile sunt centrale în orice ciclu.
Pentru a ilustra, să ne întoarcem la graficul din fig. 4.29. aici
Vertex 2 este centrul graficului, și toate celelalte vârfuri - periferice. Circuit 1, 2, 3 - unul lanțuri diametrale.
Pentru o distanță digraph conectat între vârfurile și definită ca distanța dintre nodurile din neorientat și duplicat acest grafic.
Problema de a găsi nodurile centrale ale graficului sunt în mod constant întâlnite în practică. Să presupunem, de exemplu, corespund vârfurile unui sat mic, și coaste - drumuri între ele. Aceasta are loc în mod optim la aceste așezări, de exemplu, magazine. În astfel de situații, criteriul de optimalitate este, de obicei, pentru a optimiza „cel mai rău“ caz, care este, pentru a minimiza distanța de la magazin la sat cele mai îndepărtate. O astfel de abordare a optimizare presupune plasarea de magazine în sate, care sunt vârful central.
grafice ocolișuri
Am observat deja că începutul teoriei graficului este asociat cu problema de poduri din Königsberg. Acest bine-cunoscut la momentul în care problema este după cum urmează. Șapte poduri urbane din Königsberg (Kaliningrad acum) au fost situate pe râul pregelului așa cum este prezentat în Fig. 4.30. Provocarea este că, ieșind din casă, du-te înapoi la trecerea doar o singură dată pe fiecare punte.
Ciclul într-un grafic este Eulerian. în cazul în care conține toate marginile graficului. Grafic conectate, în care există un ciclu Euler, numit Graficul Euler. Un astfel de grafic poate fi trasă fără a ridica creionul de pe hârtie și fără a repeta liniile.
De exemplu, graficul prezentat în Fig. 4.31 este Euler deoarece conține Eulerian ciclul 1, 2, 3, 4, 5, 6, 4, 2, 6, 1. în acest grafic există alte cicluri Euleriene. Este clar că oricare două astfel de cicluri diferă unul de altul numai în ordinea muchiilor traversal.
Teorema 4.7. (Euler, 1736) Un grafic conectat este Eulerian dacă și numai dacă gradele de toate nodurile sale sunt chiar.
Lanțul se numește Euler. în cazul în care conține toate marginile graficului.
Teorema 4.8 (Euler, 1736 YG) multigraf are lanț Euler dacă și numai dacă este conectat și numărul de noduri de grad impar este 0 sau 2.
Un grafic este hamiltonian. dacă are o buclă simplă care conține toate nodurile graficului. bucle simple și simplu circuit, inclusiv toate nodurile, numit, de asemenea, hamiltonianul. Figura 4.33 prezintă exemple de cicluri hamiltoniene ( „grăsime“ linie) pentru două grafice simple.
Interpretarea clasică a problemei ciclurilor hamiltoniene - problema shahmatnomkone. dacă este posibil, pornind de la un câmp arbitrar pe tabla de șah, plimbare calul într-o astfel de secvență care, după ce trece prin fiecare din cele șaizeci și patru câmpuri de bord pentru a reveni la poziția de pornire. Ca o problemă practică asociată cu ciclul hamiltonian poate fi numit un zadachuokommivoyazhere bine-cunoscut. agent de vânzări trebuie să viziteze fiecare oraș doar o singură dată, după ce a părăsit unul dintre ei și revenirea la sine. În același timp, cunoscând distanța dintre oricare două orașe, este necesar să se determine cel mai scurt traseu, care este necesară pentru a găsi întregul ciclu ponderat grafic hamiltonian de greutate minimă.
O altă problemă a utilizării circuitelor hamiltoniene. Există o mașină, care ar trebui să efectueze operațiunea. Trecerea de la executarea unei operațiuni de a efectua alte operațiuni posibilă numai după schimbare a mașinii. Pe de schimbare a mașinii pentru a efectua operații după operație necesară ore. Se crede că. Necesitatea de a găsi o operațiuni de rută pentru fiecare dată de schimbare să nu depășească. Această problemă se reduce la problema găsirii unui circuit hamiltonian într-un grafic ale cărui noduri sunt operații efectuate, iar nervurile conecta numai nodurile (operare) necesitând timpi de comutare mai puțin.
În ciuda „similaritatea“ în definițiile pentru ciclurile Euler și hamiltoniene, teoria relevante, stabilirea criteriilor pentru existența și algoritmi de căutare astfel de cicluri au puține în comun. turnuri ale lui Euler (Teorema 4.7), este ușor să se stabilească dacă graficul Euler. Algoritmi care permit destul de ușor de a găsi un grafic Euler tur Euler. În ceea ce privește graficele Hamiltoniene, aici situația este diferită în esență. Pentru a răspunde la întrebarea dacă un grafic Hamiltonian, de regulă, foarte dificilă. Criterii generale, cum ar fi criteriul Euler nu e aici. Dar, după cum sa dovedit, printre mulțimea tuturor graficelor de grafice ale lui Euler este neglijabil, dar hamiltonianul grafice suficient.