Imaginea și nucleul liniar. Locul și defect al unui operator liniar.
Să - care acționează operatorul liniar într-un spațiu vectorial V (complex sau real)
Definiție: Setul tuturor vectorilor de forma numită imaginea A și este notată ImA-. Astfel.
Definiție: Setul tuturor vectorilor care este numit nucleul operatorului A și se notează Kera. Astfel.
Aprobarea: imaginea și nucleu al unui operator liniar A este un subspațiu al V. spațiu liniar
Dovada: De fapt, din cauza liniarității A, avem:
1) în cazul în care și în mod inutil
și pentru că Asta este un subspațiu de V.
Este un subspațiu de V. #
Fie V - n-dimensional spațiu complex sau vectorial real.
/ Core constă dintr-un singur element nul /
2) Zero operatorului, atunci
3) Să considerăm operatorul diferențial în spațiul de polinoame de gradul n. apoi aici. Se poate observa că în toate aceste exemple este adevărată:
, că nu este accidentală.
Teorema (privind suma dimensiunile imaginii și linia de kernel):
Fie A - un operator liniar care acționează într-un spațiu liniar V. Apoi, suma dimensiunile imaginii și kernel-ul operatorului este egală cu dimensiunea spațiului liniar, adică,
În baza arbitrara spațiului V. Deoarece prin definiție, putem scrie că intervalul liniar generat multitudine de imagini ale vectorilor de referință, și unde r - numărul maxim l.n.z. vectori în sistem. Dar coordonatele acestor vectori sunt coloanele matricei unui operator A liniar în baza, deci.
Luați în considerare nucleul operatorului A :.
În ales egalitatea bază corespunde SLAE omogene: care, după cum se știe, are (n -rs) l.n.z. deciziile care formează SDF. Deoarece necunoscutele sunt coordonatele vectorilor sistemului care constituie Kera. concluzionăm că dim (kera) = n -r. Rezultatul este că
Definiție: Dimensiunea imaginii operatorului este numit rangul operatorului, dimensiunea nucleului operatorului numit un defect.
Definiție: operator liniar numit nedegenerat dacă o bază arbitrar (e) din spațiul vectorial V A are o matrice nesingular.
Corolar: Dacă A - operator liniar nedegenerata, atunci imaginea sa coincide cu întregul spațiu în care acționează operatorul.
Dovada: În cazul în care, apoi, prin teorema precedentă, putem scrie. De către operatorii de proprietate nedegenerat 40 (mai târziu se dovedesc în capitolul 12 secțiunea 7), în cazul în care egalitatea este posibilă numai aici din. pentru că , Rezultă că.
Definiție: Un subspatiu L al spațiului V se numește invariant în raport Dacă operatorul A. liniar.
Teorema (pe invarianța imaginii și linia de kernel):
Imagine și nucleu al unui operator liniar sunt subspatii invariante în raport cu A.
1) Fie din moment Chiar și așa, adică, ImA subspatiu este invariant în raport cu A.
2) Să. Apoi, ss deci Kera subspatiu este invariant în raport cu A.
2.Sobstvennye și vectorii proprii ai unui operator liniar A.
Valorile proprii și vectorii proprii ai unui operator liniar A.
Să unde V - spațiu liniar n-dimensional.
Definiție: Numărul de X - numit eigenvalori (ev) liniar operatorului A. Dacă da, ce. În același element (vector) x este numit un vector propriu (SV) de A.
Aici, în cazul în care V - spațiu vectorial real, iar dacă V - spațiu vectorial complex.
Criteriul (existența autovalorile operatorului liniar A):
Pentru λ a fost autovalorile operatorului liniar, este necesar și suficient ca acest număr a fost rădăcina ecuației caracteristice A.
Să - baza arbitrara V. Spatiul - matricea A în această bază. Apoi, trebuie să ambele părți ale (necesare și suficiente):
(1 pe criteriul existenței unor soluții netriviale ale sistemelor liniare omogene.)
1) Alegerea unei baze în spațiu și scrie matricea operatorului.
2) Vezi toate autovalorile rădăcinile ecuației caracteristice.
3) Rezolvarea sistemelor liniare omogene pentru fiecare s.z.- găsi coordonatele corespunzătoare vectorului.
Definiția. Setul tuturor valorilor proprii ale operatorului și valoarea lui A este numit spectrul.
3.Svoystva vectori și valori proprii ale unui operator liniar.
1) Să - vectorii proprii ale unui operator liniar A corespunzătoare aceleiași
ev - yu λ. Apoi combinația liniară este de asemenea o rv corespunzând acelorași valori proprii - yu λ.
2) Dacă - Diverse s.zn-I. liniar operatorul A. atunci vectorii proprii l.n.z. corespunzătoare
Dovada: Vom demonstra prin inducție. De atunci l.n.z. Să presupunem că afirmația este adevărată pentru n vectori, adică, - l.n.z. Alăturați-vă ei și ia în considerare ecuația vectorul (*).
Să aplicăm operatorul A în (*). Sau obține. Scădeți din această ecuație ecuația (*). înmulțit cu :.
pentru că - sunt distincte și - l.n.z. atunci. De la (*) constatăm că #
Definiție: O matrice pătrată de ordinul n se numește diagonală dacă are forma:
Definiție: Un operator liniar se numește diagonalizable dacă există o bază în spațiul liniar, în care matricea operatorului liniar este diagonală.
4.Diagonalizuemost operator liniar.
Definiție: O matrice pătrată de ordinul n se numește diagonală dacă are forma:
Definiție: Un operator liniar se numește diagonalizable dacă există o bază în spațiul liniar, în care matricea operatorului liniar este diagonală.
Teorema 1: (criteriul diagonalizability liniar matricea operatorului).
Să - bază în spațiul liniar V. Matricea unui operator liniar în această bază este diagonală dacă și numai dacă vectorii de bază sunt vectori proprii ale lui A. Matricea în baza vectorilor proprii are următoarele diagonală:
Să presupunem că avem o bază. Apoi, prin definirea unei matrice operator liniar poate scrie:
Să baza constă din vectorii proprii. Apoi.
Teorema 2: (suficientă matrice operatorului stare diagonalizability liniar).
Să dimV = n. în cazul în care operatorul liniar are valori proprii distincte n Apoi, există o bază în care matricea Ae operatorul A este diagonal, cu o bază în spațiul V liniar este format din SW-B.
Dovada: Să - și vectorii proprii corespunzătoare valorilor proprii ale diferitelor perechi, apoi de proprietate 2 formează o bază (deoarece dimV = n) Prin Teorema 1 (criteriu) matricea Ae A în această bază este diagonală. #
Nota 1: Contact teoremei este falsă. Ca un exemplu, să considerăm operatorul de identitate, matricea Ae a operatorului, în baza vectorilor proprii este diagonală, dar ev-i sunt aceleași, adică, Ele sunt pairwise diferite.
Consecință: Dacă toate rădăcinile ecuației caracteristice ale operatorului A sunt distincte, atunci există o matrice non-singular astfel încât matricea este diagonală.
Dovada: Demonstrația rezultă din matricea de transformare operatorului formulă liniară la trecerea de la valoarea inițială (e) la baza (e „), care constă dintr-un. vectori și, prin urmare, matricea este diagonală.
Formularul 5.Bilineynye în spațiul liniar. Simetric și formele biliniare oblic-simetrice.
Fie V - spațiu liniar reale.
Definiție: Forma biliniară este o funcție numerică A (x, y) +2 argumente vectoriale x și y (), liniar cum ar fi 1 și 2 pe argumentul, și care îndeplinește următoarele condiții:
Fie f (x) și g (y) - cele două forme liniare, adică Liniar operatori de cartografiere spațiu V într-un set numeric. Apoi, A (x, y) = f (x) g (y) - formă biliniară.
derivați de scalară 2 vectori:
atunci acesta poate fi scris ca - forma biliniare.
Acum obținem o expresie pentru formele biliniare în termeni generali, deși - o bază de V, și apoi
Definiție: O matrice se numește matricea în care Ae formă biliniară A (x, y) în bază. Elementele acestei matrice se numesc coeficienții formei biliniare în baza dată.
Definiție: Forma biliniară A (x, y) este numit simetric (oblic), în cazul în care un.
Nota 1: Orice simetrică biliniară forma A (x, y) este determinată în mod unic prin valorile sale pentru coincizând argumente. De fapt:
Nota 2: Dacă A (x, y) - o formă biliniară simetrică, ea, de asemenea, matricea Ae este simetrică în orice mod. De fapt,
Corolar. Reprezentarea se numește vedere în perspectivă biliniară forma A (x, y) în n - dimensional spațiu liniar.
formă biliniară 6.Matritsa și transformarea sa în timpul tranziției la o nouă bază.
Definiție: O matrice se numește matricea în care Ae formă biliniară A (x, y) în bază. Elementele acestei matrice se numesc coeficienții formei biliniare în baza dată.
Documente conexe:
suma spațiilor este simplă. Lineynyeoperatory. Core și obrazlineynogooperatora. Locul și defektlineynogooperatora. Teorema privind suma rang și defect. operatorul în matricea bază. Matrix.
și imagine. și yadrooperatora sunt subspatii liniare. În această dimensiune numită obrazaoperatora rangomoperatora și etichetă. Dimensiunea yadraoperatora numite defektomoperatora și etichete.
lineynogooperatora. matrici de operator de comunicare în diferite baze. Acțiuni pe lineynymioperatorami. Inversele. condiția existenței. Imagine și yadrolineynogooperatora. Teoreme pe rang și defektelineynogooperatora.
Core și obrazlineynogooperatora. imagini din spațiu și spațiul nuclear. Locul și defektlineynogooperatora. Teorema privind suma rang și defektalineynogooperatora. Operații pe mapări liniare. Spațiul de mapări liniare.
Este legat de inginerie sisteme, procese tehnologice și de drept. " Studiind activitatea operatorului. .. individuale defecte fizice (Numai managerii de linie sale Asistent din PVC-ul este „nucleul“, „structură“. Tabelul de Rangurile „Petru I;.