Kernel și imaginea unui operator liniar.
Să - spațiu vectorial operator liniar Multe indicat. Cu alte cuvinte, setul este imaginea completă inversă a vectorului zero, atunci când sunt afișate. Datorită liniaritatea acestui set este închis sub plus și multiplicarea scalară. În consecință, un subspațiu al spațiului cu o multitudine de principal Ker.
Determinare. Subspațiul spațiului vectorial cu setul principal este nucleul unui operator desemnat dimensiune nucleu liniar numit operator defect defect
Setul este notat cu sau. Datorită liniaritatea acestui set este închis sub plus și multiplicarea scalară. În consecință, un subspațiu al spațiului cu o multitudine de primar
Determinare. Un subspațiu al unui spațiu vectorial cu setul principal este calea unui operator liniar și este notat cu operatorul dimensiunea imaginii este numit rangul de rang
Teorema 1.4. Să - operator liniar spațiu vectorial finit-dimensional. Apoi (1) suma rangul și defectul este
Dovada. Primul caz: În cazul în care - spațiu de zero, este ușor de văzut că concluzia teoremei deține.
Să presupunem că - un spațiu non-zero. Să - baza spațiului. Apoi, sistemul generează spațiu vectori
Acest sistem este liniar vectori independenți. Într-adevăr, în cazul în care
Având în vedere liniaritatea operatorului
Din moment ce, atunci, rezultă că
și din cauza independenței liniare a vectorilor
Astfel, sistemul este o bază de grad și, prin urmare, egal. Mai mult, defectul este zero. Prin urmare, există o declarație (1).
Al doilea caz :. Să defect este - o bază de baza kernel-ului. În cazul în care este evident că afirmația (1) deține. Să presupunem că. Spatiul poate fi extins la sistemul de caz de bază. Să - o bază de timp
t. e. Sistemul de vectori creează spațiu
Acest sistem este liniar independent. Într-adevăr, în cazul în care
apoi prin liniaritatea operatorului
Din moment ce - o bază de fapt că există scalari
În virtutea independenței liniare a vectorilor, rezultă că toți coeficienții egal cu zero în partea stângă a ecuației, în special. Astfel, sistemul este o bază vectori ai spațiului și rangul este. În consecință, afirmația este adevărată (1).