Toate exemplele din această secțiune se bazează pe masa derivatelor și teorema derivata unei funcții compozit a cărui formulare este după cum urmează:
Fie 1) Funcția $ u = \ varphi (x) $ are la un x_0 $ derivat punctul $ $ u _ '= \ varphi' (x_0) $, 2) funcția $ y = f (u) $ este punctul corespunzător $ u_0 = \ varphi (x_0) derivat $ $ y _ '= f' (u) $. Apoi compozit funcție $ y = f \ stânga (\ varphi (x) \ dreapta) $ în punctul de mai sus va fi, de asemenea un egal derivat cu produsul din derivatele funcțiilor $ f (u) $ și $ \ varphi (x) $:
$$ \ stânga (f (\ varphi (x)) \ dreapta) '= f _' \ stânga (\ varphi (x_0) \ dreapta) \ cdot \ varphi „(x_0) $$
sau într-o înregistrare mai scurt: $ y _ '= y _' \ cdot u _ „$.
În exemplele din această secțiune, toate funcțiile au forma $ y = f (x) $ (adică, luând în considerare doar funcția unei singure variabile $ x $). Prin urmare, în toate exemplele derivate $ y „$ luate de variabila $ x $. Pentru a sublinia faptul că derivatul este luat cu privire la $ x $, de multe ori în loc de $ y „$ a scrie $ y'_x $.
În exemplele №1, și №3 descrise nr.2 în detaliu procesul de identificare a derivatului de funcții complicate. Exemplu №4 pentru o înțelegere mai completă a tabelului derivatelor și are sens să citească.
De preferință, după materialul de studiu în exemplele №1-3 merge la decizia independentă de exemplele №5, №6 și №7. Exemplele №5, №6 și №7 conțin o scurtă decizie, cititorul poate verifica corectitudinea rezultatului.
Găsiți derivatul $ y = e ^ $.
Trebuie să găsim derivata unui compozit funcție $ y „$. Deoarece $ y = e ^ $, atunci $ y '= \ la stânga (e ^ \ dreapta)' $. Pentru a găsi derivat de $ \ stânga (e ^ \ dreapta) „$ №6 folosi formula derivată din tabel. Pentru a putea folosi formula №6 trebuie remarcat faptul că în acest caz $ u = \ cos x $. O altă soluție este aceea de expresii formule banale substituții №6 $ \ cos x $ in loc de $ u $:
Acum aveți nevoie pentru a găsi valoarea de $ expresie (\ cos x) „$. Din nou, se referă la derivați de masă, selectând o formulă din ea №10. Substituind $ u = x $ în formula №10, avem: $ (\ cos x) '= - \ sin x \ cdot x' $. Acum vom continua să ecuația (1.1), adăugând la rezultatul său găsit:
Deoarece $ x „= 1 $, apoi continuați cu ecuația (1.2):
Deci, de la (1.3) avem: $ y „= - \ sin x \ cdot e ^ $. Firește, explicațiile și egalitatea intermediară este trecut, de obicei, de înregistrare a găsi derivat într-o singură linie - ca în ecuația (1.3). Astfel, derivata unei funcții compozit găsit doar scrie răspunsul rămâne.
Găsiți derivatul de $ y = 9 \ cdot \ arctg ^ (4 \ cdot \ ln x) $.
Trebuie să se calculeze derivata $ y '= \ la stânga (9 \ cdot \ arctg ^ (4 \ cdot \ ln x) \ dreapta)' $. Pentru a începe, observăm că constanta (de exemplu, numărul 9) poate fi luată ca un semn al derivatului:
$$ y '= \ stânga (9 \ cdot \ arctg ^ (4 \ cdot \ ln x) \ dreapta)' = 9 \ cdot \ stânga (\ arctg ^ (4 \ cdot \ ln x) \ dreapta) „\ tag $$
Acum, să ne întoarcem la expresia $ \ left (\ arctg ^ (4 \ cdot \ ln x) \ dreapta) „$. Pentru a selecta formula dorită din derivații din tabel a fost mai ușor, voi introduce această expresie în această formă: \ $ stânga (\ stânga (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ dreapta) ^ \ dreapta) „$. Acum vedem că este necesar să se utilizeze formula №2, și anume $ \ Stânga (u ^ \ alfa \ dreapta) '= \ alpha \ cdot u ^ \ cdot u' $. În această formulă, substitut $ u = \ arctg (4 \ cdot \ ln x) $ și $ \ alpha = 12 $:
Completând ecuația (2.1) cu rezultatul, avem:
$$ y '= \ stânga (9 \ cdot \ arctg ^ (4 \ cdot \ ln x) \ dreapta)' = 9 \ cdot \ stânga (\ arctg ^ (4 \ cdot \ ln x) \ dreapta) „= 108 \ cdot \ stânga (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ dreapta) ^ \ cdot (\ arctg (4 \ cdot \ ln x)) „\ tag $$
În această situație, de multe ori greseste când Solver, în prima etapă selectează formula $ (\ arctg \; u) '= \ frac \ cdot u' $ în loc de formula $ \ left (u ^ \ alpha \ dreapta) „= \ alpha \ cdot u ^ \ cdot u „$. Faptul că primul trebuie sa fie derivata funcției exterioare. Pentru a înțelege ce fel de funcție este extern la expresia $ \ arctg ^ (4 \ cdot 5 ^ x) $, imaginați-vă că credeți că ^ (4 \ cdot 5 ^ x) expresie $ \ arctg $ la o anumită valoare de $ x $. În primul rând veți găsi o valoare de $ 5 ^ x $, apoi înmulțiți rezultatul cu 4 pentru $ 4 \ cdot 5 ^ x $. Acum, din acest rezultat, vom lua tangenta cu arc, a primit $ \ arctg (4 \ cdot 5 ^ x) $. Apoi ridica numărul obținut la gradul douăsprezecea, producând $ \ arctg ^ (4 \ cdot 5 ^ x) $. Ultima acțiune - și anume exponentiere 12, - va fi o funcție exterioară. Și că ar trebui să înceapă cu găsirea derivatul, care a fost făcut în (2.2).
Acum aveți nevoie pentru a găsi $ (\ arctg (4 \ cdot \ ln x)) „$. Utilizați tabelul formula №19 derivată prin substituirea ei $ u = 4 \ cdot \ ln x $:
Bit simplifică expresia rezultată, având în vedere $ (4 \ cdot \ ln x) ^ 2 = 4 ^ 2 \ cdot (\ ln x) ^ 2 = 16 \ cdot \ ln ^ 2 x $.
(2.2) va fi acum după cum urmează:
$$ y '= \ stânga (9 \ cdot \ arctg ^ (4 \ cdot \ ln x) \ dreapta)' = 9 \ cdot \ stânga (\ arctg ^ (4 \ cdot \ ln x) \ dreapta) „= \ \ = 108 \ cdot \ stânga (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ dreapta) ^ \ cdot (\ arctg (4 \ cdot \ ln x)) „= 108 \ cdot \ stânga (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ dreapta) ^ \ cdot \ frac \ cdot (4 \ cdot \ ln x) „\ tag $$
Rămâne de a găsi $ (4 \ cdot \ ln x) „$. Asigură constantă (de exemplu, 4) a semnului derivatului: $ (4 \ cdot \ ln x) '= 4 \ cdot (\ ln x)' $. Pentru a găsi $ (\ ln x) '$ vom folosi formula №8, înlocuind în $ u sa = x $: $ (\ ln x)' = \ frac \ cdot x „$. Deoarece $ x '= 1 $, atunci $ (\ ln x)' = \ frac \ cdot x „= \ frac \ cdot 1 = \ frac $. Substituind acest rezultat în formula (2.3), obținem:
$$ y '= \ stânga (9 \ cdot \ arctg ^ (4 \ cdot \ ln x) \ dreapta)' = 9 \ cdot \ stânga (\ arctg ^ (4 \ cdot \ ln x) \ dreapta) „= \ \ = 108 \ cdot \ stânga (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ dreapta) ^ \ cdot (\ arctg (4 \ cdot \ ln x)) „= 108 \ cdot \ stânga (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ dreapta) ^ \ cdot \ frac \ cdot (4 \ cdot \ ln x) „= \\ = 108 \ cdot \ stânga (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ dreapta) ^ \ cdot \ frac \ cdot 4 \ cdot \ frac = 432 \ cdot \ frac (4 \ cdot \ ln x)>. $$
Permiteți-mi să vă reamintesc că derivata unei funcții compozit este cel mai adesea situate într-o singură linie - așa cum este înregistrat în ultima egalitate. Prin urmare, în proiectarea modelelor de calcul sau a lucrărilor de control nu vopsea în mod necesar o decizie cât mai multe detalii.
În primul rând, o parte din funcția de transformare $ y $, exprimând radical (rădăcină), sub formă de grad: $ y = \ sqrt [7] = \ stânga (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ dreapta) ^> $. Acum vom trece la derivatul. Deoarece $ y = \ stânga (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ dreapta) ^> $, atunci:
Utilizarea derivaților de masă formula №2. înlocuind în ea $ u = \ sin (5 \ cdot 9 ^ x) $ și $ \ alpha = \ frac $:
$$ \ stânga (\ stânga (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ dreapta) ^> \ dreapta) „= \ frac \ cdot \ stânga (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ dreapta) ^ - 1> (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x)) „= \ frac \ cdot \ stânga (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ dreapta) ^> (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x)) „$$
Vom continua să ecuația (3.1), folosind rezultatul:
Acum trebuie să găsiți $ (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x)) „$. Folosind formula de masa №9 derivate, înlocuind-o $ u = 5 \ cdot 9 ^ x $:
$$ (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x)) '= \ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot (5 \ cdot 9 ^ x)' $$
Adăugarea la ecuația (3.2) cu rezultatul, avem:
$$ y '= \ stânga (\ stânga (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ dreapta) ^> \ dreapta)' = \ frac \ cdot \ stânga (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ dreapta ) ^> (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x)) „= \\ = \ frac \ cdot \ stânga (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ dreapta) ^> \ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot (5 \ cdot 9 ^ x) „\ tag $$
Rămâne de a găsi $ (5 \ cdot 9 ^ x) „$. Pentru început va depune o constantă (numărul de $ 5 $) pentru semnul derivat, și anume, $ (5 \ cdot 9 ^ x) '= 5 \ cdot (9 ^ x)' $. Pentru $ derivatul (9 ^ x) '$ aplicabilă Tabelul №5 formulă derivată prin înlocuind $ a = $ 9 și $ u = x $: $ (9 ^ x)' = 9 ^ x \ cdot \ ln9 \ cdot x „$. Deoarece $ x '= 1 $, atunci $ (9 ^ x)' = 9 ^ x \ cdot \ ln9 \ cdot x „= 9 ^ x \ cdot \ ln9 $. Puteți continua acum la ecuația (3.3):
$$ y '= \ stânga (\ stânga (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ dreapta) ^> \ dreapta)' = \ frac \ cdot \ stânga (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ dreapta ) ^> (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x)) „= \\ = \ frac \ cdot \ stânga (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ dreapta) ^> \ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot (5 \ cdot 9 ^ x) „= \ frac \ cdot \ stânga (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ dreapta) ^> \ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot 5 \ cdot 9 ^ x \ cdot \ ln9 = \\ = \ frac \ cdot \ stânga (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ dreapta) ^> \ cdot \ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot 9 ^ x. $$
Puteți reveni din nou la gradele de radicali (de exemplu, rădăcini), scriind $ \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ dreapta) ^> $ în formă de $ \ frac >> = \ frac> $. Apoi derivatul este înregistrat în forma:
Arătați că formula №3 și №4 tabel derivat este un caz special de formula №2 acest tabel.
In formula Tabelul nr.2 înregistrat derivați ai derivatului de $ u ^ \ alpha $. Substituind $ \ alpha = -1 $ în formula №2, obținem:
Deoarece $ u ^ = \ Frac $ și $ u ^ = \ $ Frac, atunci (4.1) poate fi rescrisă ca: $ \ left (\ frac \ dreapta) '= - \ frac \ cdot u' $. Aceasta este o formulă derivată №3 tabel.
Referindu-ne din nou la formula №2 tabelul de derivate. Membru supleant în $ ei \ alpha = \ frac $:
Această egalitate $ (\ sqrt) '= \ frac> \ cdot u' $ și au derivați cu formula tabel №4. După cum puteți vedea, formula №3 și №4 tabelul de derivate derivate din formula înlocuind valorile corespunzătoare №2 $ \ alpha $.
Găsiți $ y „$, în cazul în care $ y = \ arcsin 2 ^ x $.
Găsirea derivata unei funcții complexe, în acest exemplu, vom scrie fără explicații detaliate, care au fost date în problema anterioară.
Găsiți $ y „$, în cazul în care $ y = 7 \ cdot \ ln \ păcatul ^ 3 x $.
Ca și în exemplul anterior, găsirea derivata unei funcții compozit, specificați detalii. Este recomandabil să se înregistreze derivatul singur, numai făcând referire la decizia indicată mai jos.
Răspuns. $ Y „= 21 \ cdot \ ctg x $.
