Definiție 1. O funcție. definite pe setul X se numește mărginită de mai sus pe acest set dacă există un număr M astfel încât. Funcția. definită pe mulțimea X este marginit de mai jos pe acest set în cazul în care există un număr M astfel încât. Funcția. definite pe X. set numit limitat la acest set, iar în cazul în care există un număr. astfel încât.
Cu alte cuvinte, funcția este mărginită pe X. în cazul în care acest set este mărginită de mai sus și mai jos.
De exemplu, funcția este mărginită de mai sus de R. set de atunci. Acesta este delimitată de mai jos pe R. Incepand. Este mărginită pe R. de atunci. Handicap sunt funcțiile și. din moment ce.
Proprietăți funcții limitate:
1) În cazul în care funcțiile f și g sunt delimitate pe X. și funcțiile set și sunt de asemenea limitate la setul X;
2) Dacă funcția este mărginită de mai sus, este mărginită de dedesubt;
3) în cazul în care funcția este pozitiv la setul X și delimitat la partea sa inferioară printr-un număr pozitiv, atunci funcția este mărginită pe x.
Dovada. 1) Datorită funcțiilor limitate f și g pe setul X și numere există. și. cum ar fi. Și apoi - mărginită la funcția X. Pentru a dovedi captivității funcției. set. Apoi, avem inegalitățile și. din care rezultă că. iar acest lucru înseamnă o limitare a funcției.
2) Din cauza limitată există o funcție f de deasupra numărului M astfel încât. Apoi. adică funcții mărginite.
3) Conform condiției. Prin urmare, funcția de restricție.
De exemplu, funcția este mărginită pe numere reale, R, după cum.
Pentru a defini un top nelimitat sau de jos a funcției, este necesar să se formuleze negarea părții relevante a definiției 1.
Definiție 2. O funcție este nemărginit de mai sus asupra setului X, dacă nu există nici un număr M astfel încât pentru toți. adică, pentru orice număr de M există un număr. astfel încât.
Funcția se numește unbounded de mai jos în setul X dacă pentru orice număr de M există un număr. astfel încât.
Să ne dovedesc, de exemplu, că funcția este nemărginită în setul de mai sus. Luăm un număr arbitrar și arată că. astfel încât.
Pentru a face acest lucru este, evident, suficient pentru a lua. de ex.
În cazul în care funcția este mărginită pe X, atunci setul este limitat, așa că are cel mai de sus și cea mai mare limita inferioară. Lor și reprezintă, respectiv, și denumite hotarul cel de sus și cea mai mare limita inferioară pe X. set
Definiție 3 a) O funcție este în creștere pe X. stabilit dacă valoarea mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției, adică, . astfel încât. Avem.
b) funcția se numește în scădere pe un set X dacă.
c) funcția de non-descreștere se numește pe setul X dacă.
g) funcția nonincreasing se numește pe X. set If.
Creșterea, în scădere, funcție non-descrescătoare, non-creștere se numește monotonă. creșterea sau descreșterea - funcții strict monotone.
În studiul privind funcțiile monotone sunt utile următoarele afirmații.
Teorema. a) Dacă funcțiile f și g sunt în creștere (descreștere) setului X și funcția f + g crește (descrește) în X.
b) Dacă setul X este H.
c) Dacă funcțiile f și g sunt non-negativ în setul X și creșterea (descreșterea) în acest set, lucrează pe X.
g) Dacă funcția f este pozitiv în setul X și creșteri (scăderi), apoi X.
e) În cazul în care o funcție pe setul X și funcția pe platoul de filmare. funcția pe platourile de filmare de X.
Dovada. Arătăm, de exemplu, a) și d).
a) Fie funcțiile f și g este crescută printr-un set X și. și. Apoi, pot fi adăugate din cauza același sentiment de inegalitate, atunci. și anume funcția f + g crește.
d) Fie funcția este în scădere pe un set X și o funcție de scăderea setului. . și. Apoi, după cum. și anume creșterea funcției pe X. set
Restul declarației teoremei pentru a vă dovedi.
Rețineți că adăugarea de o valoare constantă a funcției de multiplicare și în funcție de valoarea constantă pozitivă nu schimbă natura monotonă.
Exemplu. Vom demonstra că funcțiile și de a crește decalajul.
Dovada. Funcția mărește intervalul. Apoi, prin proprietate c) și. și. prin urmare, de proprietate a) crește și funcția.
Funcþie dovada de contradicție. Să. Să presupunem contrariul, și anume, asta. Apoi, prin creșterea funcției. . și anume . care contrazice inegalitatea. Această contradicție implică faptul că. și anume Funcția mărește intervalul.