Acasă | Despre noi | feedback-ul
O funcție y = f (x) LIMITED mai sus (mai jos) multimea A din domeniul D (f), în cazul în care există un număr de M. că pentru orice x din această condiție set
Folosind definiția simbolurilor logice poate fi scrisă ca:
f (x) - este delimitată de sus pe platourile de filmare
(F (x) - este delimitată de jos printr-un set de
Introducerea și funcțiile delimitate în valoare absolută, sau pur și simplu limitată.
Numim funcția set limitat A din domeniu. în cazul în care există un număr M pozitiv, care
În limbajul simbolurilor logice
f (x) - este mărginită
Funcția nu este limitată la, numit nelimitat. Știm că definițiile date prin negație, insipid. Pentru formularea acestei afirmații ca definiție, utilizează operațiile proprietăți cuantificator (3.6) și (3.7). Întrucât negarea funcțiilor limitate ale limbii simbolurilor logice va:
f (x) - este mărginită
Acest rezultat ne permite să formulăm următoarea definiție.
Funcția se numește pe un domeniu nemărginită care aparține funcției în cazul în care, există acest set la orice număr M pozitiv valoarea argumentului x, valoarea încă depășește valoarea M, adică.
Ca un exemplu, ia în considerare funcția
Acesta este definit pe axa întreaga reală. Dacă luăm în considerare intervalul [-2, 1] (set A), atunci acesta va fi limitat la ea de sus și de jos.
De fapt, pentru a arăta limitele sale de mai sus, este necesar să se ia în considerare predicatului
și pentru a arăta că există (există) M este astfel încât pentru orice x, luată pe [-2, 1] este valid
Găsiți un M este ușor. Putem presupune M = 7, cuantificatorul existențial implică găsirea cel puțin un punct M. Prezența unui astfel M și confirmă faptul că funcția pe intervalul [-2, 1] este mărginită de mai sus.
Pentru a dovedi că este mărginită de mai jos, este necesar să se ia în considerare predicatului
Valoarea M, asigurând valabilitatea predicatul este, de exemplu, F = -100.
Se poate demonstra că funcția este limitată, și modulo: pentru toate x în intervalul [-2, 1] la aceleași valori ca și funcții. astfel încât M poate lua, de exemplu, valoarea precedentă M = 7.
Noi arată că aceeași funcție, dar în intervalul. este nelimitată, și anume
Pentru a arăta că există x, ia în considerare declarația
Căutarea necunoscute X valori între valorile pozitive ale argumentului, obținem
Acest lucru înseamnă că orice pozitiv MMY nu au fost luate, x, pentru a se asigura că inegalitatea
obținută din relația.
Având în vedere funcția pe axa întreaga reală, putem arăta că nu este delimitată de modulul.
Într-adevăr, inegalitatea
Aceasta este, indiferent de cât de mare orice pozitiv M, sau să se asigure că inegalitatea.
Dă exemple de funcții care descriu obiecte din lumea reală, care au: a) un minim local la maxim local depășit; b) minim local ar fi un rezultat pozitiv și un maxim local negativ.
Functia are un punct cu un maxim local (minim) în cazul în care există o vecinătate a acestui punct, pentru că x ¹s acest cartier inegalitatea
Precizați definirea unui maxim local și un minim local în limba logicii matematice.
a) b) Fig. 8.7. Extremele funcțiilor.
Punctul de locale de mac maxime (fig. 8.7, a) și un minim local (fig. 8.7, b) se numește un punct local de extra-Muma. Uneori, cuvântul „locale-TION“ este coborâtă și doar vorbim despre maximele, minimele, extremele funcțiilor. Cu toate acestea, extremelor - locală proprietate care caracterizează comportamentul funcției în punctul de valorile sale prin comparație cu valorile din punctele definiției regiunii, aproape de acest lucru. notă
a) b) Fig. 8.8. Cazurile de absență de extremă.
în special că punctul extremum poate fi doar un punct interior al intervalului și f (x) trebuie să fie determinată cu atenție. Posibile cazuri de absență a extremum sunt prezentate în Fig. 8.8.
Dacă funcția este în creștere (descreștere) pe un interval iubyvaet (creșteri) la un anumit interval. cu punctul este un maxim local (minim).
Absența funcției maxime f (x) la punctul c poate fi formulată după cum urmează:
f (x) are un maxim la litera c
Acest lucru înseamnă că, în cazul în care punctul c nu este un punct de maxim local, oricare ar fi, există cartier, care include ckak punctul intern cel puțin o valoare a lui x nu este egal cu C, la asta. Astfel, în cazul în care punctul c au maxim, extremum în acest moment poate să nu fie deloc sau este un punct de minim (Fig. 8.9).
a) b) Fig. 8.9. Posibile cazuri de absență a unui maxim la punct.
Noțiunea de extremelor oferă o evaluare comparativă a funcției la un moment dat în raport cu jur. O comparație valori similare funcții pot fi efectuate pentru toate punctele de un anumit decalaj.
Cel mai mare (mai mic), valoarea pe platoul de filmare se va numi valoarea sa la punctul de pluralității astfel încât
Cea mai mare (cea mai mică), valoarea funcției se numește, de asemenea, valoarea maximă globală (minimă) a funcției. Punct de puncte minime maxime la nivel mondial și sunt numite extremelor la nivel mondial. Cantitatea lor poate fi finit sau infinit, sau aceste puncte nu pot exista deloc.
Fig. 8.10. Valorile maxime și minime ale funcției pe intervalul.
segmentul (Fig. 8.10) ia valoarea maximă 1 la punctul. iar cea mai mică valoare de la 0, - la. Cea mai mare valoare este atins la un punct interior al segmentului. iar cel mai mic - în capătul stâng.
Pentru a determina cea mai mare (mai mică), valoarea este o funcție definită pe intervalul, este necesar ca între toate valorile maxime sale (minim), iar valorile luate la capetele intervalului, pentru a selecta cel mai mare număr (mai mic). Acesta va fi cel mai mare (cea mai mică), valoarea funcției. Această regulă va fi specificate mai târziu.
Problema de a găsi valorile maxime și minime ale unei funcții pe un interval deschis nu este întotdeauna rezolvată destul de ușor. De exemplu, funcția
Fig. 8.11. Funcții EXEMPLU fără a avea cele mai mari și cele mai mici valori în intervalul (0, 1).
în intervalul (Fig. 8.11) nu le are.
Să ne asigurăm, de exemplu, că această funcție nu are nici o valoare maximă. De fapt, având în vedere funcția de monotonie. se poate argumenta că, indiferent cât de aproape suntem nici cer din partea stângă a valorilor unitare ale lui x, există alte lui, în care valorile funcției va fi mai mare decât valoarea sa în punctele fixe combinate, dar încă mai puțin de unul.