Revendicarea 6. Structura sistemului de ecuații liniare neomogene de luare în comun.
Definiția. Să - sistemul neomogen de ecuații liniare cu sistemul de matrice Un sistem de ecuații liniare se numește un sistem omogen de ecuații liniare corespunzătoare dat sistemului neomogen de ecuații liniare.
Definiția. Orice soluție a sistemului neomogen numesc o soluție parțială.
Exemplu. Găsiți o soluție specială.
Decizie. Este ușor de văzut că
- soluții particulare ale acestui sistem.
Notăm mulțimea tuturor soluțiilor sistemului neomogen, și anume Și prin spațiul de soluții ale sistemului omogen corespunzător. soluție specială Arbitrare a sistemului neomogen este notat cu X *, astfel încât egalitatea adevărată.
În această notație teorema următoare.
Teorema. (Structura solutiilor sistemului neomogenă).
1) Suma oricărei soluții particulare a sistemului neomogen și orice soluții ale sistemului omogen corespunzător este soluția sistemului neomogen.
2) Orice decizie a sistemului neomogen poate fi scris ca suma unei soluții particulare a sistemului neomogen și o soluție a sistemului omogen corespunzător.
1) în cazul în care și apoi;
și anume dacă, atunci;
2) în cazul în care și apoi, adică orice soluție a sistemului neomogen poate fi scris ca și în cazul în care.
Dovada. 1) Să presupunem că. Apoi, prin adăugarea proprietăților matricei
2) Să. atunci
, și anume . Notăm. Apoi, în cazul în care și, QED
Acest set se numește suma subspaiilor și vector (coloana) și altul se numește paralelă colector liniar (sau vector) la subspațiul. (A se vedea. Revendicați 7 de mai jos.)
După cum se poate observa din această desemnare,
Folosind acest lucru și notația anterioare, ultima teorema poate fi declarat după cum urmează:
Teorema. (Structura solutiilor sistemului neomogenă).
In caz contrar, set S de soluții ale sistemului neomogen este suma subspațiul soluțiilor sistemului omogen corespunzător și orice particular soluție X * a sistemului neomogen inițial.
Corolar. Orice soluție a sistemului neomogen de ecuații liniare poate fi scrisă ca:
unde - soluția totală a sistemului omogen corespunzător, și - o anumită soluție arbitrară a sistemului neomogen.
Definiția. Solutia sistemului neomogen de ecuații liniare scrise în forma
în care: - constantele arbitrare (scalari câmpului); - un sistem fundamental sistem omogen corespunzător, numit soluția generală a sistemului neomogen.
Concluzie. Rezolva sistemul neomogen de ecuații liniare este de a găsi setul de toate soluțiile sale. Și, la rândul său, este mulțimea tuturor soluțiilor sale are forma:
. Prin urmare, răspunsul este suficient pentru a scrie soluția generală :.
Exemplu. Rezolva sistemul :.
În primul rând, orice metodă arbitrară găsi soluția sa parțială, de exemplu, astfel încât. Soluția generală a sistemului omogen corespunzător, am găsit deja :. Apoi, soluția generală a sistemului neomogen este după cum urmează :.