Heterogene de ordinul a doua ecuații diferențiale liniare cu coeficienți constanți
Decizie. Caracteristica Ecuația $$ k ^ + k = 0 \\ k (k + 1) = 0 \ ;; \; k_ = 0 \ ;; \; k _ = - 1, $$
Soluția generală a ecuațiilor omogene de forma: $ y = C_ + c_e ^ $
Partea dreaptă a ecuației $ f (x) = 4x ^ e ^ \ ,, \, \ alpha = 1 $. deoarece $ \ Alpha = 1 $ nu este o rădăcină a ecuației caracteristice, atunci soluția particulară a ecuației neomogene are forma (vezi. Tabelul. Cazul 2/1) $$ \ overline = (A_x ^ + A_x + A_) e ^ $$
Substituind în ecuația originală și împărțind ambele părți de $ e ^ $. va avea $$ 2A_x ^ + (6A_ + 2A_) x + 2A_ + 3A_ + 2A_ = 4x ^ $$
Asimilarea coeficienții de puteri, cum ar fi de partea stângă și dreaptă ale ecuației, obținem un sistem liniar de ecuații pentru $ A_ \ ,, \, A_ \ coeficienții de text<и> A_ $: $$ \ left \ 2A_ = 4 ; A_ = 2 \\ 6A_ + 2A_ = 0 ; A _ = - 6 \\ 2A_ + 3A_ + 2A_ = 0 ; A_ = 7 \ end \ dreapta. $$ $$ \ overline = (2x ^ -6x + 7) e ^ $$
Soluția generală a acestei ecuații $$ y (x) = C_ + c_e ^ + (2x ^ -6x + 7) e ^ $$
Găsiți soluția generală a ecuației $$ # '#' + # „+ 25y = 4e ^ $$
Soluție: Caracteristica ecuație $ k ^ + 10k + 25 = 0 $ are o dublă rădăcină $ k_ = k _ = - 5 $, deci $ y = (C_ + C_x) e ^ $. pentru că $ $ A = -5 este rădăcina caracteristicii ecuației de multiplicitate $ S = 2 $, atunci soluția particulară este solicitată sub forma ecuației neomogene (a se vedea tabelul 2 caz (2) ..): $$ \ overline = Ax ^ e ^ \ ;; \ ;> # '= A (2x-5x ^) e ^ \ ;; \;> #' # „= A (2-20x + 25x ^) e ^ $$
Substituind expresiile pentru $ y \ ,, \, # „\ ,, \ # '#' $ În ecuația originală, vom obține $ 2AE ^ = 4e ^ \ ,, \, A = 2 \ ,, \, y = 2x ^ e ^ $. Soluția generală a acestei ecuații $$ y = (C_ + C_x) e ^ + 2x ^ e ^ $$
Găsiți o soluție particulară a ecuației (rezolva problema Cauchy) $$ # '#' + # „- 2y = \ cos-3 \ păcatul $$ condițiile inițiale: $ y (0) = 1 \ ;; \; # „(0) = 2 \ ;; $
Caracteristica ecuație: $ k ^ + k-2 = 0 $;
Rădăcinile ecuației caracteristice: $ k_ = 1 \ ;; \; k _ = - $ 2;
Soluția generală a ecuației omogene: $ y = c_e ^ + c_e ^ $
O soluție particulară a ecuației diferențiale neomogene va fi solicitată în forma (vezi tabelul): $$ \ overline = A \ cos + B \ păcatul \ ;; \; \\ \ overline # „> = - A \ păcat + B \ cos \ ;; \; \\> # '#' = - A \ cos-B \ păcatul $$
Substituind expresiile pentru $ y \ ,, \, # „\ ,, \ # '#' $ În ecuația originală, obținem: $ (B-3A) \ cos + (- 3B-A) \ sin = \ cos-3 \ păcat $ $$ \ din stânga \ B-3A = 1 \\ \ rightarrow A = 0 . B = 1 ; \\ - (3B + A) = - 3 \ end \ dreapta. $$ Apoi soluția generală a ecuației dat este de forma: $$ y = c_e ^ + ^ c_e + \ pacatul $$