Determinarea și formulele neomogenă doua comandă comandă
ecuație diferențială neomogenă a doua ordine liniară, cu coeficienți constanți este o ecuație diferențială a formei
în care p și q - sunt numere reale arbitrare, iar partea din dreapta - funcția pe un interval continuu de integrare X.
Soluția generală a ecuației diferențiale liniare neomogene (1) cu o funcție continuă la interval X este egal cu suma soluției totale a ecuației diferențiale omogene liniare corespunzătoare
și orice soluție particulară a ecuației neomogenă inițiale (1), adică,
Metode pentru găsirea unei soluții particulară a controlului neomogene de ordinul doi
Există mai multe metode pentru găsirea unei soluții special de ordinul a doua ecuații diferențiale liniare neomogene cu coeficienți constanți (1). Aceste metode sunt alese în funcție de tipul de partea dreaptă - funcția.
1) Dacă funcția este un polinom de gradul n-lea
apoi soluția particulară a ecuației (1) este solicitată sub forma
Aici, - un polinom de gradul n cu coeficienți necunoscuți (care urmează să fie determinată), și s - multiplicitatea rădăcinilor ecuației caracteristice a ecuației omogene (2) (adică, numărul sau ecuația caracteristică egală cu zero).
Deoarece - o soluție particulară a ecuației (1), coeficienții care definesc polinomul poate fi găsit prin metoda coeficienților nedeterminați din ecuația
folosind faptul că cele două polinoame sunt egale în cazul în care coeficienții egale de competențe corespunzătoare ale variabilei independente.
Găsiți soluția de neomogene de ordinul a doua ecuatii diferentiale liniare cu coeficienți constanți.
Soluția generală a ecuației dată este egală cu suma soluției generale a ecuației omogene corespunzătoare și o soluție particulară a ecuației neomogene, adică,
Scriem ecuația caracteristică și pentru a găsi rădăcinile sale:
Avem diferite rădăcini reale, și așa mai departe soluția dorită
Acum vom găsi o soluție particulară a ecuației neomogene. Deoarece partea dreaptă a ecuației inițiale este un polinom de gradul al doilea, și unul dintre rădăcinile ecuației caracteristice este zero (deci, exponent s - multiplicitate rădăcină - egal cu unu), apoi soluția particular
în cazul în care coeficienții sunt necunoscute. Pentru a le determina, vom înlocui această funcție într-o ecuație diferențială neomogen predeterminată:
Și apoi soluția specială necesară
Astfel, soluția generală a ecuației diferențiale dată
Ecuația Dată corespunde ecuației diferențiale liniare omogene
Și apoi soluția generală a ecuației omogene
Deoarece partea dreaptă - Function - ecuație neomogenă inițială este un al doilea grad de produs polinom de o funcție exponențială, atunci soluția particulară este solicitată sub forma
În acest caz, deoarece ecuația omogenă a rădăcinilor ecuației caracteristice acolo.
Substitut această expresie în ecuația diferențială inițială:
Se împarte prin echivalarea coeficienți și exponenți sub aceeași variabilă x independentă. Rezultatul este un sistem de ecuații liniare pentru coeficienții necunoscuți și C:
Prin urmare, soluția particulară dorită
O soluție generală, atunci originală ecuație diferențială neomogenă
În primul rând, vom găsi o soluție generală a ecuației omogene corespunzătoare. Pentru a face acest lucru, vom trage în sus și să o rezolve ecuația caracteristică:
Deoarece rădăcinile ecuației caracteristice - un număr complex conjugat, atunci soluția ecuației omogene
Deoarece partea dreaptă a ecuației inițiale neomogene nu este o funcție de un tip special, este în continuare variază constantele sunt constante, inclusiv funcțiile lor variabile independente :. Apoi neodnorodnogouravneniya generală soluție va fi căutată în formă de:
Pentru a găsi funcțiile necunoscute ale sistemului (4):
Va reduce ambele ecuații prin:
Să ne găsim o soluție la acest sistem de Cramer (reamintească faptul că funcția necunoscută și sunt în sistem). Determinantul matricei sistemului (Wronskian):
De atunci, sistemul are o soluție unică. Calculăm determinanți auxiliare:
Din prima ecuație obținem prin integrare:
Astfel, soluția dorită a ecuației inițiale