Să ne amintim definiția vectori ortogonali în plan și în spațiul tridimensional.
Doi vectori nenuli sunt numite perpendiculare. dacă unghiul dintre ele este egală cu nouăzeci de grade (radiani).
Pentru rectangularitatea doi vectori nenuli și este necesar și suficient ca produsul lor scalar este egal cu zero, și anume, că egalitatea.
Să presupunem că vectorii și sunt perpendiculare. Să demonstrăm egalitatea.
Prin definiția produsului scalar al vectorilor este egală cu produsul dintre lungimile lor de cosinusul unghiului dintre ele. Deoarece vectorii sunt perpendiculare, unghiul dintre ele este egal cu nouăzeci de grade, deci. QED.
Ne întoarcem la a doua parte a demonstrației.
Acum ne gândim. Vom demonstra că vectorii și sunt perpendiculare.
Deoarece vectorii și nenulă, rezultă din faptul că. Astfel, cosinusul unghiului dintre vectori este egal cu zero și, în consecință, unghiul este. indicând faptul că vectorii perpendiculare.
Astfel, o condiție necesară și suficientă pentru doi vectori perpendiculari este demonstrată.
După cum arată condiția rectangularitate a doi vectori în formă componente?
În produsul scalar în coordonatele am arătat că doi vectori cu coordonatele date și egalitatea de avion. și doi vectori în spațiu. Astfel, o condiție necesară și suficientă a perpendicularității a doi vectori în coordonate este pe un plan și un spațiu tridimensional.
Luați în considerare aplicarea acestor condiții în practică, această soluție a analiza câteva exemple.
dacă vectorii sunt perpendiculare.
Calculăm produsul lor interior de coordonate. Prin urmare, condiția de doi vectori perpendiculari în planul efectuat, adică, ele sunt perpendiculare.
Da, vectorii sunt perpendiculare.
dacă vectorii sunt perpendiculare și. unde - coordonează vectorii sistemului de coordonate cartezian în spațiul tridimensional.
Vectori și au coordonatele, și (dacă este necesar, a se vedea vectorul articol coordonate într-un sistem de coordonate cartezian). Noi verifica dacă condiția necesară și suficientă a perpendicularității a doi vectori:
Din moment. vectorii nu sunt perpendiculare.
Nu, nu perpendicular.
Găsiți valoarea. în care vectorii sunt perpendiculare.
Noi folosim starea perpendicularității a doi vectori în spațiu în formă de coordonate
vectori sunt perpendiculare.
În unele cazuri, este posibil să se răspundă la întrebarea cu privire la cei doi vectori perpendiculari fără utilizarea de condiții necesare și suficiente pentru perpendicularității. De exemplu, atunci când știm că lungimile tuturor laturile unui triunghi construit pe doi vectori, putem găsi unghiul dintre vectori și a vedea dacă acesta este egal cu nouăzeci de grade.
Laturile AB, AC și BC ale unui triunghi ABC sunt, respectiv, 8, 6 și 10 cm. Asigurați-vă că vectorii și sunt perpendiculare.
Dacă vectorii și sunt perpendiculare, atunci triunghiul ABC - dreptunghiular și ipotenuza sa este ien lateral. Apoi, în conformitate cu teorema lui Pitagora trebuie să aibă egalitatea. Verificăm valabilitatea acestuia :.
Prin urmare, AB și AC - picioare ale unui triunghi dreptunghic ABC. prin urmare, vectorii sunt perpendiculare.