Determinarea 2.7.Pust. Se spune că funcția reține zero, esliF (0, 0, ..., 0) = 0. Clasa PostaP 0 este setul de funcții care păstrează zero.
Determinarea 2.8.Pust. Se spune că această funcție păstrează unitatea de esliF (1, 1, ..., 1) = 1. PostaP Clasa 1 este setul de funcții care păstrează unitatea.
Este ușor de observat că clasa P 0 și P 1 sunt duale reciproc, în sensul că maparea F A F * este bijectie din fiecare dintre aceste clase pentru alta.
Să - o mulțime de funcții de variabile N din clasa P 0. Apoi. Într-adevăr, orice funcție poate fi setată la masă. Prima linie a acestui tabel, în cazul în care valorile tuturor argumentelor sunt egale cu 0, funcțiile set P 0 (N) este 0, iar funcțiile nu sunt în acest set este 1, prin urmare, clasa P 0 (N) aparține exact jumătate din toate funcțiile de n variabile , t. e. funcții.
De asemenea, remarcăm următorul fapt. Să sau. Apoi, identificarea variabilelor din ea poluchaetsyaLibo constantă. Sau funcție. Intr-adevar, J (X) = F (X, ..., X) poate fi una din cele patru funcții: 0, 1 ,, X. Dar identitatea F (X, ..., X) = X ar trebui să fie aceea.
Determinarea 2.9.Klass PostaS- o clasă de funcții auto-duale.
Determinarea 2.11.Klass PostaL- o clasă de funcții liniare. O funcție booleană se numește liniară dacă poate fi reprezentat de un polinom de gradul Zhegalkin £ 1.
Exemplu. Disjuncție - o funcție neliniară, deoarece acesta poate fi reprezentat de un polinom de gradul al doilea Zhegalkin: X ÚY = X ÅY ÅXy.
Teorema 2.14.Kazhdy Mesaj de clasă este închisă.
Sledstvie.Kazhdy post clasă nu pot fi complete.
Într-adevăr, incompletitudinea set închis de funcții booleene înseamnă că există funcții booleene care nu fac parte din acest set. Se pare că există funcții booleene care nu aparțin nici uneia dintre clasele de post; sunt Sheffer accident vascular cerebral și Pierce Arrow. Arătăm acest lucru pentru cursa Sheffer :. Din moment ce, și, apoi. De atunci. Deoarece F (0, 0)> F (1, 1), atunci F ÏM. Zhegalkin polinomială pentru accident vascular cerebral Sheffer este dat. Prin urmare, această funcție este non-lineară: F ÏL.
Exercitarea. Verificați dacă săgeata Pierce nu face parte din oricare dintre cele cinci clase de Postul Mare.
Teorema 2.15. (Teorema Jost). Sistemul de funcții booleene dacă și numai dacă este completă atunci când fiecare dintre klassovV acestui sistem, există o funcție care nu este inclusă la această clasă.
Prin Teorema Postul funcția X | Y formează un sistem complet, adică prin accident vascular cerebral Sheffer poate exprima orice funcție booleană ... Aici sunt expresiile corespunzătoare pentru negație și conjuncție:
.