Descompunerea binom folosind triunghiul lui Pascal
Luați în considerare următoarea expresie cu puteri de (a + b) n. unde a + b este orice fasole, și n - un număr întreg.
Fiecare expresie - acesta este un polinom. Toate expresiile pot fi văzute particularități.
1. Fiecare expresie pe un termen mai mult decât exponent n.
2. La fiecare termen, suma gradelor egale cu n, adică, în măsura în care este construit de fasole.
3. Grade începe cu binom gradul n și redus la 0. Ultimul termen are un factor de multiplicare a. Primul termen nu este un factor b, care este b măsură încep de la 0 și crește la n.
4. Coeficienți încep de la 1 și crește cu o anumită valoare „jumătate de cale“, și apoi redus cu aceleași valori înapoi la 1.
Să ia în considerare mai mulți factori. Să presupunem că vrem să găsim valoarea (a + b) 6. În conformitate cu caracteristicile pe care tocmai l-am văzut, nu ar trebui să fie de 7 membri
6a + c1 un c2 + 5 b 4 b 2 a + c3 a 3 b 3 + c4 a ab 2 b 4 + 5 + c5 b 6.
Dar cum putem determina valoarea fiecărui coeficient, CI. Putem face acest lucru în două moduri. Prima metodă implică scrierea coeficienților triunghiului, așa cum se arată mai jos. Acest lucru este cunoscut ca triunghiul lui Pascal:
Există mai multe caracteristici în triunghiul. Găsiți cât mai multe ca tine poate.
Poate că ați găsit o modalitate, cum să scrie următoarele numere de linie folosind numerele din linia de mai sus. Unitățile întotdeauna situate pe părțile laterale. Fiecare număr rămas este suma celor două numere aranjate deasupra acestui număr. Să încercăm să găsim o valoare a expresiei (a + b) 6 prin adăugarea următoarea linie folosind caracteristicile pe care le-am găsit:
Vedem că în ultimul rând
primul și ultimul număr 1;
al doilea număr este 1 + 5, sau 6;
a treia cifră este 5 + 10, sau 15;
Numărul patrulea este de 10 + 10, sau 20;
cincilea număr este de 10 + 5 sau 15; și
numărul 6-lea este 1 + 5, sau 6.
Astfel, expresia (a + b) este egal cu 6,
(A + b) = 6 1 6 a 6 + 5 + b 15 a 4 b 2 + 3 b 3 20 + 15 a 2 b 4 + 6 5 + 1 ab 6 b.
Pentru a ridica în grad (a + b) 8. vom adăuga două rânduri la triunghiul lui Pascal:
atunci
(A + b) 8 = a + 8 8a 7 b 6 + 28a + 56a 2 b 5 b 3 b 4 + 70a + 56a 4 5 3 b 2 b + 28a + 8AB 6 7 8 + b.
Putem rezuma rezultatele noastre, după cum urmează.
Teorema binom folosind triunghiul Pascal
Pentru orice un binom + b și orice număr natural n,
(A + b) n = c0 a n b 0 + c1 a n-1 b 1 + c2 a n-2 + b 2. + Cn-1, 1 b n-1 + cn a 0 b n,
în cazul în care numerele c0. c1. c2. cn-1. cn luate din rândul (n + 1) din triunghiul lui Pascal.
Exemplul 1. crescute într-un grad: (u - v) 5.
Soluția de rezolvare Avem (a + b) n. unde a = u, b = -V, și n = 5. Noi folosim 6-lea rând de triunghiul lui Pascal:
1 5 10 10 5 1
Apoi, avem
(U - v) 5 = [u + (-v)] 5 = 1 (u) 5 5 + (u) 4 (-v) 1 + 10 (u) 3 (-v) + 10 2 (u) 2 (-v) 5 + 3 (u) (- v) 4 + 1 (-v) = u 5 5 - 5u 4 v + 10U v 3 2 - 10u v 2 3 + 5uv 4 - 5 v.
Vă rugăm să rețineți că membrii semnelor variază între + și -. În cazul în care gradul de -V au un număr impar, semnul -.
Exemplul 2. ridicat la nivelul: (2t + 3 / t) 4.
Soluția de rezolvare Avem (a + b) n. unde a = 2t, b = 3 / t, și n = 4. Folosim 5-lea rând de triunghiul lui Pascal:
1 4 6 1 april
Apoi, avem
descompunerea binom folosind valorile factorialului
Să presupunem că vrem să găsim valoarea (a + b) 11. Lipsa de utilizare a triunghiului lui Pascal este că trebuie să calculeze toate linia de triunghi precedent pentru a obține numărul dorit. Metoda de mai jos vă permite să evite acest lucru. De asemenea, vă permite să găsiți un anumit șir de caractere - de exemplu, rândul 8-lea - fără a calcula toate celelalte linii. Această metodă este utilă în calcul, statistici, și-l folosește un coeficient de notație binom.
Putem formula teorema binomială, după cum urmează.
Teorema binom folosind factorial notație
Pentru orice binom (a + b) și orice număr natural n,
.
Teorema binom poate fi dovedită prin inducție. Acesta arată de ce se numește coeficientul binomială.
Exemplul 3. ridicat la nivelul: (x 2 - 2y) 5.
Soluția de rezolvare Avem (a + b) n. unde a = x 2. b = -2y, și n = 5. Apoi, folosind teorema binomială, avem
În cele din urmă, (x 2 - 2y) = x 10 5 - 10x 8 y + 40x 2 y 6 - 80x 4 y 3 + 80x 2 y 4 - 35y 5.
Exemplul 4. ridicat în grad: (2 / x + 3√ x) 4.
Soluția de rezolvare Avem (a + b) n. unde a = 2 / x, b = 3√ x. și n = 4. Apoi, folosind teorema binomială, obținem
In cele din urma (2 / x + 3√ x) 4 = 16 / x 4 + 96 / x 5/2 + 216 / x + 216x 1/2 + 81X 2.
Găsirea unui anumit membru
Să presupunem că vrem să determine unul sau celălalt membru al termenului expresiei. Metoda pe care le-am dezvoltat ne permite pentru a căuta acest termen, fără a calcula toate rândurile de triunghiul lui Pascal și toți factorii anteriori.
Vă rugăm să rețineți că teorema binomială ne dă primul membru, aceasta ne dă un termen de două ne oferă un al treilea membru, și așa mai departe. Acest lucru se poate generaliza după cum urmează.
Găsirea (k + 1) membri
(K + 1), termenul expresiei (a + b) n este.
Exemplul 5 Găsiți termenul 5-lea în expresia (2x - 5y) 6.
Soluția de rezolvare În primul rând, rețineți că 5 = 4 + 1. Apoi, k = 4, a = 2x, b = -5y, și n = 6. Apoi, termenul 5 al expresiei va fi
Exemplul 6 Găsiți termenul 8-lea în expresia (3x - 2) 10.
Soluția de rezolvare În primul rând, observăm că 8 = 7 + 1. Apoi, k = 7, a = 3x, b = -2 și n = 10. Apoi, elementul 8 al expresiei va fi
Numărul total de subseturi
Să presupunem că setul are n obiecte. Numărul de subseturi cu k elemente acolo. Numărul total de subseturi este numărul de subseturi de elemente cu 0, precum și numărul de subseturi cu un singur element, precum și numărul de subseturi cu 2 elemente și așa mai departe. Numărul total de subseturi cu n elemente există
.
Acum, să ne uităm exponentiere (1 + 1) n:
.
Deci numărul total de subseturi (1 + 1) n. sau 2 n. Am demonstrat următoarele.
Numărul total de subseturi
Numărul total de subseturi de elemente cu n egal cu 2 n.
Cât de multe subseturi din exemplul 7 are o mulțime de?
Setul soluție are 5 elemente, atunci numărul de subseturi este de 2, 5 sau 32.
Decizia cu privire la fiecare umpluturi burger sunt membri ai unui subset al setului de toate umpluturi posibile, iar vidă este doar un hamburger. Numărul total de posibile hamburgeri va fi egal
. Astfel, Wendy 512 poate oferi diferite hamburgeri.