1º. În spațiul Un punct O și baza arbitrară a spațiului vectorial Vn, adică un astfel de sistem ordonat de vectori care sunt îndeplinite două condiții:
a) sistem liniar independent;
b) oricare dintre vectorul Vn este o combinație liniară a vectorilor sistemului (exprimat liniar prin interiorul acestora).
Este cunoscut din algebra desigur, că în spațiul Vnsuschestvuyut cel puțin o bază iznvektorov orice bază este de asemenea iznvektorov.
Definiția 1. pluralitate de punctul O și baza se numește coordonate sau cadru sistem de afine afin (frame (lat.) - mark) spațiu și este notat sau mai scurt.
Punctul O se numește origine. și vectorii - vectori de coordonate. Axa care trece prin punctul O în direcția vectorilor, este numită coordonatei axele și denote
Fie M - punct arbitrar al An. care specifică cadrul. Descompunem vectorul raza de punctul M pe baza:
(O astfel de descompunere întotdeauna există și este unic = Teorema)
Definiția 2. Numerele se numesc coordonate tochkiM într-un sistem de coordonate. Înregistrate sau mai scurte.
Astfel, coordonatele punctului M în coordonatele vectorului raza reperenazyvayutsya acelui punct în bază.
Nota 1. deoarece fiecare vector are o bază dată coordonate precise, coordonatele unui punct în definiția sistemului de coordonate, in mod unic (set bijectie între punctele de spațiu și un set ordonat de numere reale n).
Teorema 1. Coordonatele vectorului egal cu diferențele dintre coordonatele corespunzătoare ale punctelor N și M.
# 9633; Fie M () și N () în cadru, apoi prin Axiom II a triunghiului, unde avem # 9632;
2º. Trecerea la noul sistem de coordonate
În spațiul Un sistem de coordonate două afin: un vechi și unul nou
Fie (3), adică, o nouă coordonate vectorii exprimate în termenii vechiului prin formulele:
în care, ca și vectorii de bază sunt liniar independente, atunci (5).
Teorema 2. dacă începutul unui nou afina sistem de coordonate și vechi și noi coordonate relații vectori asociați (3) și (4), cu condiția (5), coordonatele unui punct M arbitrar în sistemul de coordonate vechi exprimate în coordonatele sale în formulele noului sistem de coordonate.
, cu condiția (6)
Prin ipoteză, avem:
Prin triunghi Axioma II avem:
Substituind în (10) din expresia (3), (4), (8) și (7), obținem următoarea ecuație:
Extinderea parantezele și aducerea acestor termeni:
Deoarece coordonatele vectorului în baza dată definit în mod unic, coeficienții aceiași vectori din partea stângă și dreaptă a ecuației (11) sunt egale, prin urmare, formulele (6), condiția (5) este de asemenea îndeplinită. # 9632;
Definiția 3. cu formula (6) se numește. formule punct transformare de coordonate la trecerea la noul ACK.
Nota 2. așa cum este cunoscut în cursul algebra, vectorul de coordonate formula de transformare în tranziția la o nouă bază au forma:
Exercitarea. Cinci puncte sunt date în spațiu: ,,,,. Înregistrarea punctelor de coordonate formule de transformare prin setarea: