integralelor duble au aceleași proprietăți ca integralele definite (liniaritate, formula aditivitatea valoare medie, etc.).
Are formula
care arată că ordinea de integrare poate fi modificată.
Integrala (1) reprezintă volumul corpului delimitat de dreptunghi inferior P, partea - fețele laterale ale unei prisme drepte, construite în acest dreptunghi și mai sus - acea parte a suprafeței pe care este decupat prismei (Fig 1.).
2. Dacă funcția f (x, y) este continua pe
unde și sunt continue pe intervalul [a, b] și [a, b]
Partea din dreapta (3) se repetă integral, adică rezultatul calculului secventiala întâi integrală a y pentru x fix. apoi integralei x din funcția de recepție.
3. Dacă funcția f (x, y) este continuă în regiunea G (fig. 3)
unde funcțiile sunt continue pe segmentul [c, d] și [c, d], atunci egalitatea
4. Dacă G este (Fig. 4), care i se aplică și formula (3) și cu formula (4),
Această ecuație este utilizată pentru a modifica ordinea de integrare în iterat integralei.
Zonele mai formă complexă să fie împărțit în părți care sunt aplicabile pentru formula (3) sau (4).
Dublul integrală este volumul
lemn cilindric - corpul delimitat de suprafața superioară z = f (x, y). lateral cu o suprafață cilindrică, paralel cu generatoarele axa z. de mai jos - figura G pe planul xy (Figura 5.).
Exemplul 1. Se măsoară ordinea de integrare în
Decizie. În acest exemplu, ar trebui să înceapă cu construirea regiunii de integrare, deoarece sunt date integralele, indicând ordinea de integrare și limite pentru variabilele corespunzătoare. Să ne amintim că limitele variabile de integrare a frontierelor interne sunt integral schimbare x pentru y fix. Prin urmare, domeniul de integrare G 1 pentru prima integrală poate fi stabilită de inegalitățile
unde și sunt arce de parabole situate sub axa Ox. Regiunea integrării în a doua integralei este de forma
și unde curbele sunt arce de parabole și un arc circular situată deasupra axei Ox.
Fie G = G1 UG2 (Fig. 6). Apoi, de segmentul cu obiective și fiecare linie x = const, intersecteaza multimea G
Prin urmare, regiunea G pot fi reprezentate
Rețineți că schimbarea în ordinea de integrare în reiterată integralei uneori simplifică foarte mult calcul.
Exemplul 2. Se calculează integralei unde regiunea delimitată de liniile G și y = 0 (Figura 7).
Decizie. Pentru fiecare valoare fixă de y. valoarea lui x variază de până la x = (2 - y) e. prin urmare
Integrarea acum funcția intervalelor y la y = 0 și y = 1. obține
La calcularea integrală
Folosind forma de integrare de către părți. avem
Exemplul 3. Calculați volumul corpului mărginite de suprafețe
Decizie. Regiunea de integrare este de forma G (fig. 8).
În conformitate cu formula (3), avem
Exemplul 4.. Se calculează volumul corpului, intercepta avionului eliptic paraboloid x = k (k> 0) (Fig. 9).
Decizie. În fiecare dintre cele patru octante, unde x este pozitiv, aceasta este a patra parte a corpului. Pe această bază, obținem
II. Înlocuirea unei variabile în dublu integrală.
Schimbarea variabilă în integralei este de a muta variabilele x și y la noile variabile u și v. asociate cu vechile relații
Dacă următoarele condiții:
1 °. Display (6) este bijectivă.
2 °. In (6), în mod continuu - în D. diferențiabilă
3 °. Jacobiană (6)
atunci avem formula
De obicei, o schimbare de variabile se face în scopul de a simplifica domeniul de integrare. Ecuațiile (6) se numește o tranziție de la coordonate carteziene la curbilinie.
Exemple de coordonate curbilinii sunt coordonate polare asociate (x, y) formule rectangulare
Jacobian transformării (8) este egal cu
Folosit ca sinteza coordonate polare. Ca exemplu, vom calcula volumul corpului specificat în Exemplul 3 (a doua metodă).
Decizie. Introducem o generalizare a coordonate polare Această GDS
Zona regiune S squarability G în planul xy este dat de
Revenind la coordonatele curbilinii,
Cantitatea Dxdy numit element de pătrat în coordonate rectangulare; - element de pătrat în coordonate curbilinii; - elementul de suprafață în coordonate polare.
Fie D - sector curbat delimitat de raze: iar curba - coordonatele polare (Figura 10.). atunci
Fie G - placă de material (figura squarable) pe planul xy cu o densitate
- momente statice ale plăcii în raport cu axele Ox și Oy;
- coordonatele centrului de greutate al plăcii;
- momentul de inerție al plăcii în raport cu axele Ox și Oy;
- momentul de inerție al plăcii în raport cu originea.
Exemplul 5. Placa G este setat limitând curbele ei:
- Densitatea de suprafață. Găsiți masa de înregistrări.
Decizie. Placă sunt situate într-un sistem de coordonate dreptunghiular, astfel încât centrul cercului coincide cu originea (fig. 11).
Avem. Să trecem la dubla integrala a coordonatelor polare Astfel, G este transformat într-o zonă dreptunghiulară.
*) Cu condiția ca existența tuturor integralele întâlnite mai jos