Să considerăm matrice dreptunghiulară Am'n = (13.1)
Distinge ea e rând arbitrar și o coloană arbitrară s.
Definiția. s-lea minore ale matricei de comandă (13.1) se numește determinantul ordine s-lea, compus din elemente ale matricei originale, situat la intersecția a ceea ce - sau selectate s coloane rânduri și s. Denumire: Dna
Este evident că, pentru minorii s-lea pot fi mai multe. Ordinea maximă min egal minori (m, n): max s = min (m, n). Dintre toate posibile minori matrice Am'n selectați cei care nu sunt egale cu 0.
Definiția. Rangul unei matrice este cel mai înalt ordin al minorilor săi, diferită de zero. Denumire: r (A)
O caracteristică foarte importantă a matricei elementare este că ei nu se schimba rangul unei matrice.
Definiția. Matricile obținute prin transformare elementară numită echivalent.
Notă: Matricea evivalentnye egal și matrice - concept cu totul diferit.
Teorema.Naibolshee numărul de coloane liniar independente în matrice este egal cu numărul de rânduri liniar independente.
pentru că transformări elementare nu se schimba rangul matricei, este posibil de a simplifica foarte mult procesul de a găsi rangul unei matrice.
Exemple. Se determină gradul de o matrice.
2) A =. Este evident că A12 = 3¹0 = M1. toți minorii M2 = 0 deci, r (A) = 1.
. Prin urmare, r (A) = 2.
Definiția. Minor fiecare matrice O nenul a cărei ordine este egal cu rangul unei matrice este o linie de bază minoră.
În acest din urmă exemplu, a 4-a - bază, din moment ce ¹0 și s = r (A) = 2. Minor = 0 nu este de bază.
Coloanele și rândurile matricei, pe care există o bază în C minor, de asemenea, numit de bază.
Matricea poate fi mai mulți minori de bază diferite care au aceeași ordine.
În cursul algebră rol important jucat de teorema minorului de bază, pe care am stat fără dovada:
Teorema minorului de bază.
Teorema.V matrice arbitrar A, fiecare coloană (rând) este o combinație liniară baza coloanelor sale (rânduri).
Astfel, rangul unei matrice A arbitrar este egal cu numărul maxim de rânduri liniar independente (coloane) într-o matrice.
Dacă A este o matrice pătrată și D (A) = 0, atunci cel puțin una dintre coloane - o combinație liniară de celelalte coloane. Același lucru este valabil și pentru liniile. Această afirmație rezultă din proprietățile dependenței liniare cu determinantul este zero.
Capitolul 3. Sistemul de ecuații liniare.
Concepte și definiții de bază.
Sistemul de ecuații liniare m în n necunoscute este după cum urmează:
în cazul în care AIJ. bi - număr aleatoriu, numite, respectiv, coeficienții și termenii liberi de ecuații.
Într-o scurtă înregistrare cu sistemul de conectare al însumării poate fi scris ca:
soluție a sistemului sunt n numere (x1 = a1, a2 = x2 ... xn = o). care atunci când este substituit în fiecare ecuație sa devine o identitate.
Definiția. În cazul în care sistemul are cel puțin o soluție, atunci aceasta se numește o îmbinare. Dacă sistemul nu are nici o soluție, atunci aceasta se numește inconsistente.
Definiția. Sistemul se numește sigur. dacă are doar o singură soluție, și nesigură. în cazul în care mai mult de unul.
Definiția. Pentru sistemul de matrice ecuații liniare
A = sistem numit matrice, și matricea
A * = se numește matricea sistem extins.
Două sisteme de ecuații sunt numite echivalente (echivalent), în cazul în care au același set de soluții. Folosind transformări elementare ale ecuațiilor discutate în secțiunea 2 cu privire la matricele (de exemplu, multiplicarea ambelor fețe ale ecuațiilor pe un număr nu este egal cu zero, adăugarea de ecuații), se obține sistemul, acesta este echivalent.
Sistemul (1.1) poate fi scrisă sub forma de matrice:
A =. X =. = B. unde A - coeficienții de matrice ale variabilelor (sistemele de matrice); X - variabile matrice coloană; matricea B-coloană de termeni absoluți. Apoi, sistemul (1.1) poate fi scrisă ca: AX = B.