Această definiție, desigur, are sens doar atunci când ambele integrale din partea dreaptă a ecuației există.
Integralul f (x) dx este considerat a fi necorespunzător. dacă cel puțin unul dintre integralele u (x) dx. v (x) dx este necorespunzător. Mai mult decât atât, integritatea necorespunzătoare f (x) dx se numește convergent dacă ambele integrale u (x) dx converg. v (x) dx. În acest caz, prin definiție, (29.51).
Funcția f (x) se spune că este absolut integrabilă. dacă funcțiile u (x) și v (x) sunt absolut integrabile. Definiția (29.51) păstrează proprietatea de liniaritate:
Mai multe proprietăți ale integrală a funcțiilor reale (aditivitatea seturi de integrare, formula este Teorema fundamentală, regulile și modificarea variabilei de integrare de către părți), sunt, de asemenea, extinse la cazul funcțiilor cu valori complexe. | | | | - finețea partiției. Limita valabilității acestei inegalități este de asemenea stabilită pentru funcțiile complexe care sunt absolut integrabile în sensul nepotrivit. Proprietatea liniarității deține, de asemenea, pentru acest integral, formulele pentru schimbarea variabilei și integrarea prin părți, care prin formula (29.52), rezultă din proprietățile corespunzătoare ale integralelor funcțiilor unui argument real care iau doar valori reale.
Dacă f (x) = u (x) + iv (x) și funcțiile reale u (x) și v (x) sunt integrabile Riemann pe intervalul [a, b], atunci integrale f (x) dx. De asemenea, numit integrat Riemann în acest caz. este limita sume integrale (complexe) valori = f (k) xk. unde este partiția dintre [a, b],
xk -1
Prin urmare, prin aceeași metodă ca și pentru funcțiile reale, este ușor de demonstrat că dacă pentru o funcție f există un integral Riemann, atunci există pentru valoarea absolută și
În mod similar, se introduce conceptul de integritate nedefinită a funcției (29.50):
Pentru funcțiile continue f, integralele definite și nedefinite (29.51) și (29.52), ca și în domeniul real, sunt legate de