Comandați un rezahnik și în curând el va fi pe site
Dragi studenți și studenți!
Deja pe site puteți folosi mai mult de 20 000 de rezumate, rapoarte, pături, cursuri și diplome. Trimiteți-ne noua noastră lucrare și le vom publica. Să continuăm să creăm colecția noastră de rezumate împreună.
În total, există 19436 rezumate.
Distribuție Poisson - (curs)
5. Un exemplu al condiției în care apare distribuția Poisson. 6. Relația cu distribuția binomială. 11
7. Exemple din practică. 12
8. Concluzie. 15
9. Referințe. 16
Introducere.
Teoria probabilităților este o știință matematică care studiază regularitățile în fenomene aleatorii. Până în prezent, aceasta este o știință deplină, care are o mare importanță practică.
Istoria teoriei probabilității datează din secolul al XVII-lea, când au fost făcute primele încercări de a studia sistematic problemele legate de fenomenele aleatorii de masă și a apărut un aparat matematic corespunzător. De atunci, s-au dezvoltat și s-au aprofundat multe concepte fundamentale, au fost descoperite alte legi și modele importante. Mulți oameni de știință au lucrat și lucrează la probleme de teoria probabilităților.
Printre ei, nu putem să acorde o atenție la lucrările lui Poisson (1781-1840), care s-au dovedit o mai generală decât cea a lui Jacob Bernoulli, forma legii numerelor mari, iar primul care a aplicat teoria probabilității problemelor de foc. Numele lui Poisson este asociat cu una dintre legile de distribuție, care joacă un rol important în teoria probabilităților și în aplicațiile sale.
Din această lege de distribuție este dedicată această lucrare de curs. Aceasta va fi în mod direct legii, caracteristicile matematice, proprietățile speciale, legătura cu distribuția binomică. Câteva cuvinte vor fi spuse despre aplicarea practică și câteva exemple din practica sunt date. definirea legii Poisson.
În multe probleme practice trebuie tratată variabilele aleatoare distribuite în conformitate cu un fel de lege, numită Legea lui Poisson. Considerăm o variabilă discontinuă discontinuă X, care poate lua doar valori întregi, non-negative: 0, 1, 2, .... m, ...; iar secvența acestor valori este teoretic nelimitată. Se spune că variabila aleatoare X este distribuită conform legii lui Poisson, dacă probabilitatea ca ea să-și asume o anumită valoare de m este exprimată prin formula:
unde a este o cantitate pozitivă, numită parametrul legii Poisson. Distribuția variabilei aleatoare X distribuită conform legii lui Poisson este următoarea: xm
În Fig. 1 prezintă poligoane ale distribuției unei variabile aleatoare X în conformitate cu legea lui Poisson, care corespunde diferitelor valori ale parametrului a.
Principalele caracteristici ale distribuției Poisson.
În primul rând, vedem că o serie de probabilități poate reprezenta o serie de distribuții, adică suma tuturor probabilităților Pm este egală cu una.
Utilizăm extinderea funcției ex din seria Maclaurin:
Se știe că această serie converge pentru orice valoare a lui x, prin urmare, luând x = a, obținem
Definiți principalele caracteristici - așteptările matematice și varianța unei variabile aleatoare X distribuite conform legii lui Poisson.
Previziunea matematică a unei variabile aleatorii discrete este suma produselor tuturor valorilor sale posibile prin probabilitatea lor. Prin definiție, atunci când o variabilă aleatoare discretă ia un set de valori numărare:
Primul termen al sumei (corespunzător m = 0) este zero, prin urmare suma poate începe cu m = 1:
Astfel, parametrul nu reprezintă nimic altceva decât așteptarea matematică a unei variabile aleatoare X. Dispersia unei variabile aleatorii Observarea matematică a pătratului deviației unei variabile aleatorii din așteptările sale matematice este:
Cu toate acestea, este mai convenabil să calculați utilizând formula:
De aceea, mai întâi găsim al doilea moment inițial al cantității X:
Conform celor dovedite anterior
în plus,
Prin urmare,
Apoi, putem gasi varianta variabilei aleatoare X:
Astfel, varianța unei variabile aleatoare distribuită conform legii lui Poisson este egală cu așteptarea matematică a.
Această proprietate a distribuției Poisson este adesea folosită în practică pentru a decide dacă ipoteza că o variabilă aleatoare este distribuită conform legii lui Poisson este plauzibilă. Pentru a face acest lucru, determinați din experiența caracteristicilor statistice - așteptarea matematică și varianța - unei variabile aleatorii. Dacă valorile lor sunt apropiate, atunci acest lucru poate servi ca argument în favoarea ipotezei de distribuție Poisson; Diferența puternică a acestor caracteristici, dimpotrivă, mărturisește împotriva unei astfel de ipoteze.
Caracteristici suplimentare ale distribuției Poisson.
I. Momentul inițial al ordinului k al unei variabile aleatoare X este așteptarea matematică a cantității Xk: bk = M (Xk).
În special, momentul inițial al primei ordini este egal cu așteptările matematice: δ1 = M (X) = a.
II. Momentul central al ordinului k al unei variabile aleatoare X este așteptarea matematică a cantității [X-M (X)] k: mk = M [X-M (X)] k.
În special, momentul central al primei comenzi este 0:
m1 = M [X-M (X)] = 0,
momentul central al doilea ordin este egal cu variația:
m2 = M [X-M (X)] 2 = a.
III. Pentru o variabilă aleatoare X distribuită conform legii lui Poisson, găsim probabilitatea ca aceasta să aibă o valoare nu mai mică de o k dată dată. Indicăm această probabilitate de către Rk:
Evident, probabilitatea Rk poate fi calculată ca sumă
Cu toate acestea, este mult mai ușor să o determinăm din probabilitatea evenimentului opus:
În special, probabilitatea ca valoarea lui X să aibă o valoare pozitivă este exprimată prin formula
Un exemplu al condiției în care apare distribuția Poisson. După cum am menționat deja, multe probleme practice conduc la o distribuție Poisson. Să luăm în considerare una dintre problemele tipice de acest gen.
Lăsați pe axa absciselor Punctele sunt repartizate aleatoriu (figura 2). Să presupunem că distribuirea aleatoare a punctelor îndeplinește următoarele condiții:
Probabilitatea de lovire a unui număr de puncte pe segmentul l depinde numai de lungimea acestui segment, dar nu depinde de poziția sa pe axa abscisă. Cu alte cuvinte, punctele sunt distribuite pe axa abscisa cu aceeași densitate medie. Denumiți această densitate, adică așteptările matematice ale numărului de puncte pe unitate de lungime, prin.
Punctele sunt distribuite pe axa x, în mod independent unul de altul, de ex., E. Probabilitatea de a lovi un anumit număr de puncte pe o perioadă dată nu depinde de cât de multe dintre acestea au primit nici un alt segment fără a se suprapune cu ei. Probabilitatea de a lovi porțiuni mici Dhdvuh sau mai multe puncte este neglijabilă față de probabilitatea de a avea un singur punct (această condiție este imposibilitatea practică de coincidență a două sau mai multe puncte).
Selecem pe abscisa un anumit segment de lungime l si luam in considerare variabila aleatoare discrete X - numarul de puncte care cad pe acest segment. Valorile posibile sunt valorile 0, 1, 2, ..., m, ... Deoarece punctele cad pe un segment independent, atunci, teoretic, este posibil ca acestea vor fi acolo orice număr, adică. E. Numărul continuă pe termen nelimitat.
Să demonstrăm că variabila aleatoare X este distribuită conform legii lui Poisson. Pentru aceasta este necesar să se calculeze probabilitatea Pm a faptului că exact m punctele intră în segment. Mai întâi rezolvăm o problemă mai simplă. Să luăm în calcul pe axa Ox o mică parte a axei, să calculam probabilitatea ca cel puțin un punct să cadă pe această secțiune. Vom argumenta după cum urmează. Așteptările matematice privind numărul de puncte care intră pe acest site sunt în mod evident egale? Axă (deoarece pe unitate de lungime este o medie de n puncte). Conform condiției 3, pentru un segment Dx mic este posibil să se neglijeze posibilitatea ca două sau mai multe puncte să cadă pe ea. Deci așteptarea matematică? Numărul de puncte care intră pe porțiunea axei va fi aproximativ egal cu probabilitatea ca un punct să cadă pe ea (sau care, în condițiile date este echivalent, cel puțin unul).
Astfel, până la infinite de ordin mai înalt, pentru Ax> 0 putem presupune că probabilitatea ca unul (cel puțin unul) Dx, și probabilitatea ca nimeni să nu fie egal cu 1-c? Dx. Folosim acest lucru pentru a calcula probabilitatea Pm de a cădea exact un punct m pe segmentul l. Împărțiți segmentul l în n părți egale de lungime. Să ne convenim să sunăm segmentul elementar Δx "gol", dacă nu se întâmplă niciun punct, și "ocupat" dacă cel puțin unul îl lovește. Conform celor de mai sus, probabilitatea ca segmentul Dx să fie "ocupat" este aproximativ egal cu n? Ax =; Probabilitatea ca acesta să fie "gol" este 1-. Deoarece, în funcție de starea 2, punctele care se încadrează în segmente care nu se suprapun sunt independente, putem vedea modul în care segmentele nashin nnezavisimyh „experimente“, în care fiecare segment poate fi „ocupat“ cu veroyatnostyup =. Să găsim probabilitatea ca printre segmentele n să fie exact "ocupate". Prin teorema privind teste independente repetate, această probabilitate este egală,
sau denotată de n = a:
.
Pentru n suficient de mare, această probabilitate este aproximativ egală cu probabilitatea că exact punctele m cad pe segmentul l, deoarece lovirea a două sau mai multe puncte pe segmentul Ax are o probabilitate neglijabilă. Pentru a găsi valoarea exactă a lui Pm, trebuie să trecem la limita pentru n>.
Având în vedere acest lucru
și
,
constatăm că probabilitatea necesară este exprimată de formula
unde a = nl, adică, cantitatea X este distribuită conform legii lui Poisson cu parametrul a = nl. Trebuie remarcat faptul că valoarea lui a prin semnificația sa este numărul mediu de puncte per segment l. Valoarea lui R1 (probabilitatea ca valoarea lui Xprimet să fie o valoare pozitivă) exprimă în acest caz probabilitatea ca cel puțin un punct să cadă pe segmentul l: R1 = 1-e-a.
Astfel, am constatat că apare distribuția Poisson în cazul în care un anumit punct (sau alte componente) ocupă o poziție aleatoare independent unul de altul, și contorizează numărul de puncte care se încadrează în unele regiuni. În cazul nostru, această regiune a fost tăiată de axa absciselor. Cu toate acestea, această concluzie poate fi extinsă cu ușurință la distribuția punctelor pe plan (un câmp planificat de puncte) și în spațiu (un câmp spațial aleator de puncte). Nu este dificil să se demonstreze că, dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:
punctele sunt distribuite într-un câmp uniform statistic, cu o densitate medie n; Punctele cad în regiunile care nu se suprapun într-un mod independent; punctele apar singular, nu perechi, triple, etc.
atunci numărul de puncte X care intră în orice regiune D (plat sau spațial) este distribuit conform legii lui Poisson.
unde a este numărul mediu de puncte care intră în domeniul D.
Pentru cazul planului a = SD n, unde SD este domeniul domeniului D,
pentru spațiul a = VD, unde VD este volumul domeniului D.
Pentru distribuția Poisson a numărului de puncte care se încadrează în regiune sau de segment, condiția densitate constantă (n = const) imateriale. În cazul în care alte două condiții, legea Poisson are oricum loc numai în datele Value capătă o altă expresie: nu este atât de simplu de multiplicare plotnostilna lungime, suprafață sau volum, precum și integrarea densitate variabilă de-a lungul segmentului, suprafața sau volumul.
Relația cu distribuția binomică.
Prezența unor puncte aleatorii împrăștiate pe o linie, pe un plan sau pe un volum nu este singura condiție în care apare distribuția Poisson. De exemplu, se poate dovedi că legea Poisson este limita pentru distribuția binomială.
Binomial este legea distribuției unei variabile aleatorii discrete X, numărul de apariții ale unui eveniment în n studiile independente, în fiecare dintre care probabilitatea apariției unui eveniment este p; probabilitatea unei posibile valori X = m (numărul m al aparițiilor evenimentului) se calculează prin formula Bernoulli:
Dacă setăm simultan numărul de încercări n la infinit și probabilitatea p la zero și produsul lor np păstrează o valoare constantă np = a, atunci proprietatea limită a distribuției binomiale poate fi scrisă ca:
Din condiția np = a rezultă că
Astfel, se dovedește:
care a fost dovedit mai sus.
Această proprietate limitantă a legii binomiale se găsește adesea în practică. Să presupunem că se produce un număr mare de experimente independente, în fiecare dintre care evenimentul A are o probabilitate foarte mică p. Apoi, pentru a calcula probabilitatea Pn (m) de faptul că evenimentul A apare exact de m ori, în loc de formulele binomiale exacte, se poate folosi formula aproximativă
unde np = a este parametrul legii Poisson, care este aproximativ înlocuit de distribuția binomială.
Din această proprietate a legii Poisson - pentru a exprima distribuția binomică pentru un număr mare de experimente și o mică probabilitate a unui eveniment - numele său se numește: legea fenomenelor rare. Exemple din practică.
Dispozitivul este compus din 1000 de elemente, care lucrează independent una de cealaltă. Probabilitatea de defectare a oricărui element în timpul T este 0, 002. Găsiți probabilitatea ca exact trei elemente să fie respinse în timpul T. Soluția. Deoarece n = 1000 este suficient de mare pentru ipoteza și m = 0, 002 este mic, putem folosi distribuția Poisson:
unde a = np = 1000? 0, 002 = 2.
Soluția. Evenimentele "acest efect a fost observat cel puțin o dată" (denotăm prin P) și "acest efect nu a fost observat o dată" (denotăm prin Q) sunt evident opuse. Prin urmare, P + Q = 1, din care P = 1-Q = 1-Pn (0) = 1-e-a.
Prin condiția P = 0, 95, prin urmare
e-a = 0, 05,
a = np = 3,
de unde
Astfel, numărul mediu necesar de probe care trebuie testate este de 300 de bucăți.
Probabilitatea de a câștiga un bilet loterie este p = 0, 01. Câte bilete aveți nevoie pentru a cumpăra cel puțin una dintre ele cu probabilitate P nu mai mică de 0, 98?
Soluția. Probabilitatea de a câștiga este mică, iar numărul de bilete de cumpărat este evident mare, astfel încât numărul aleatoriu de bilete câștigătoare are aproximativ distribuția Poisson.
Evenimentele "niciunul dintre biletele achiziționate nu câștigă" și "cel puțin un bilet câștigător" - contrariul. Prin urmare, suma probabilităților acestor evenimente este unitatea:
Pn (0) + P = 1 sau P = 1-Pn (0) = 1 - 1-e-a.
Prin ipoteză, R? 0, 98 sau 1-e-a 0, 98. Unde e-a? 0, 02.
Prin tabel, găsim e-3, 9 = 0, 02. Deoarece funcția e-x este în descreștere, inegalitatea precedentă este valabilă pentru un? 3, 9 sau np? 3, 9. De aici n? 3, 9/0, 01 = 390. Astfel, trebuie să cumperi cel puțin 390 de bilete pentru a câștiga cel puțin una dintre ele.
Numărul mediu de apeluri care sosesc la centrala telefonică pe minut este de 120. Găsiți probabilitatea ca niciun apel să nu fie recepționat la PBX în două secunde; În două secunde, vor fi primite mai puțin de două apeluri pe ATS.
Soluția. Numărul mediu de apeluri în două secunde este:
Probabilitatea ca în 2 secunde să nu mai fie efectuate apeluri este următoarea:
Un eveniment care constă în primirea a mai puțin de două apeluri înseamnă că postul nu a primit nici un singur apel, nici unul introdus. Astfel, probabilitatea de a primi mai puțin de 2 apeluri în același timp este:
Variabila aleatoare X este numărul de electroni emise de catodul încălzit al tubului de electroni pentru un timp t, n este numărul mediu de electroni emis pe unitate de timp. Determinați probabilitatea ca în timpul t numărul de electroni emise să fie mai mic de m (mÓN).
Soluția. n este numărul mediu de electroni, t este timpul de emisie, deci a = nt. P =
Din catodul încălzit pe unitate de timp, apar electronii medii q (t), unde t este timpul scurs de la începutul experimentului. Gasiti probabilitatea ca intr-un interval de timp de durata φ incepand de la t0, exact m electronii vor parasi catodul.
Soluția. Observăm numărul mediu de electroni emis de catod într-un interval de timp dat:
Din calculul a se determină probabilitatea necesară:
În cele din urmă.
În concluzie, trebuie remarcat faptul că distribuția Poisson este o distribuție destul de răspândită și importantă care are aplicații atât în teoria probabilităților, cât și în aplicațiile sale și în statisticile matematice. Multe dintre sarcinile practice sunt în cele din urmă reduse la o distribuție Poisson. Proprietatea sa specială, care constă în egalitatea așteptărilor matematice și a varianței, este adesea folosită în practică pentru a rezolva problema dacă o variabilă aleatoare este distribuită conform legii lui Poisson sau nu.
De asemenea, este important faptul că Legea lui Poisson face posibilă găsirea probabilităților unui eveniment în studiile independente repetate cu un număr mare de replici ale experimentului și o probabilitate mică de unitate.