Sunt relativ prim.
Luați în considerare proprietățile numerelor prime relativ.
Propozitia 2.9. Numere prime între ele dacă și numai dacă unitatea este reprezentată ca o combinație liniară a acestor numere întregi.
Dovada. Dacă cifrele sunt relativ prime, atunci cea mai mare unitate comună divizorul reprezentată prin Teorema 2.5 sub forma unui număr întreg de o combinație liniară a acestor numere.
Pe de altă parte, în cazul în care unitatea poate fi reprezentată ca o combinație liniară integrală a numerelor în virtutea Propozitia 2.6, unitatea este cel mai mare divizor comun al acestor numere. Prin urmare, cifrele sunt relativ prim.
Propozitia 2.10. Întregi sunt relativ prim dacă și numai în cazul în care nu au nici un prim divizor comun.
Dovada cititorului.
Teorema 2.11. Dacă întreg împarte produsul a două numere întregi și prim-unul dintre factorii, se împarte alt factor.
Dovada. Să numere a și b sunt prime între ele și divide. Demonstrăm că o împarte c. Deoarece numerele a și b sunt relativ prim, sunt numere întregi astfel încât
Înmulțind ambele părți de c, obținem. Mai mult decât atât, după cum se divide și, prin urmare, se divide t. E. Cu divide.
Propozitia 2.12. divizor comun d întregi nu ambele egale cu zero, atunci și numai atunci este cel mai mare divizor comun, atunci când numerele sunt prime între ele.
Dovada. Din moment ce, prin ipoteză, nu toate numerele sunt egale cu zero, atunci. În cazul în care d este cel mai mare divizor comun al numerelor, apoi prin Teorema 2.5 poate fi exprimată liniar în ceea ce privește
în cazul în care - numere întregi. Împărțind ambele părți de d, obținem
Prin urmare, conform propoziției 2.9, rezultă că numerele sunt relativ prim.
Pe de altă parte, în cazul în care numerele sunt relativ prime, atunci de Propozitia 2.9, sunt numere întregi astfel încât următoarea ecuație (2). Înmulțind ambele părți ale acestei ecuații prin d, obținem (1). Deoarece comuna divizorul d a numerelor reprezentate ca o combinație liniară a acestor numere, apoi prin Propozitia 2.6 Numărul d este cel mai mare divizor de