4. Pătrate Henry E. Dudeney si Alan W. Johnson Jr. ................................. ..7
5. Magic Quadrant Yan Hueya (China) ...................................................... ..8
6. Piața Albrehta Dyurera ................................................................... 9
7. pătrat magia Diavolului .......................................................... 11
oameni de știință din antichitate considerată fundamentul esenței relațiilor cantitative ale lumii. Prin urmare, numărul și raportul a ocupat cele mai mari minți ale omenirii. „În zilele tinereții mele am fost în distractiv timp liber cu care a fost ... pătrate magice“ - a scris Benjamin Franklin.
În clasele opționale în matematică, am decis să pătrate magice. Această activitate este foarte interesat de mine, și am decis să-l acopere.
Unii dintre matematicieni restante, cum ar fi Artur Keli și Oswald Veblen, au dedicat operelor lor pătrate magice, iar rezultatele lor au avut un impact asupra dezvoltării grupurilor, structuri, pătrate latine, factori determinanți, partiții, matrici, comparații și alte ramuri netriviale ale matematicii.
Scopul acestei lucrări - familiarizarea cu diferitele piețe magice pătrate latine și studiul de aplicare a acestora.
Pentru atingerea acestor obiective, este necesar să se efectueze următoarele sarcini:
ia în considerare patrate magice de diferite oameni de știință, istoric semnificative magice patrate magice pătrat și latină;
să ia în considerare domeniul de aplicare al pătratelor magice.
Magic, sau pătrat magic - o matrice pătrat. n2 umplut cu numere, astfel încât suma numerelor din fiecare rând, fiecare coloană și cele două diagonalelor identice. În cazul în care suma pătrat a numerelor sunt egale numai în rânduri și coloane, este numit semimagic. Normal este numit pătrat magie, umplut cu numere întregi de la 1 la n2. pătrat magic numit asociativă sau simetrică, dacă suma oricăror două numere aranjate simetric în raport cu centrul de pătrat este egal cu n2 + 1.
pătrat „Comanda“ Magia este numărul de celule adiacente la partea lui (indiferent care unul).
Magic pătrate de ordinul 2 nu există, și aproximativ 3 există doar un singur (nu de numărare patrate magice obținute de la ea în timpul virajelor și reflecții). Amintiți-vă doar pătrat magic al treilea ordin nu este dificil. Mai întâi de toate celulele înscriem un număr pătrat, în ordinea prezentată în figura 1 stânga, apoi interschimba cifrele care stau la capetele opuse ale principalelor diagonalelor (această operațiune este prezentată în figură prin săgeți). Rezultatul este un pătrat magic (figura 1 dreapta), care este constantă (de exemplu, suma numerelor din fiecare rând, coloană și diagonală) este de 15.
De asemenea, constant este desemnat prin litera M. Constantă magică a unui pătrat magic normală depinde numai de n și se determină prin următoarea formulă:
Prima valoare Constantele magice sunt prezentate în tabelul următor:
Suma numerelor în orice orizontală, verticală și diagonală egală cu 34. Această sumă se regăsește în toate colțurile pătrat 2 x 2 într-un pătrat centrală (10 + 11 + 6 + 7), pătrat celulelor de colț (16 + 13 + 4 + 1 ) în pătrate construite "calul leagăn" (2 + 8 + 9 + 15 și 3 + 5 + 12 + 14), în dreptunghiurile formate din perechile de celule secundare pe laturile opuse ale (3 + 2 + 15 + 14 și 5 + 8 + 9 + 12). Cele mai multe dintre simetriile suplimentare asociate cu faptul că suma oricăror două numere de la nivel central, dispuse simetric este egal cu 17.
Există o modalitate simplă de a construi astfel de pătrate. Aceasta ar trebui să ia doar un pătrat, împărțiți-l în 16 celule, și fiecare dintre ele pentru a scrie numerele 1 la 16, iar apoi schimba numărul situat pe principalele diagonalele simetric față de centru, și o magie simetrică pătrat gata. Dürer rearanjate din sale pătrate de mijloc două coloane (care nu afectează proprietățile pătrat), astfel încât numerele din cele două celule de mijloc de linia de jos din oțel indică data creării tipărituri.
pătrat magia Diavolului
Cele mai vechi piețe de patru ori existente a fost găsit într-o inscripție XI sau XII secol, găsit în Khajuraho (India). El este prezentat în Fig. 5 de mai jos. Acest pătrat se referă la magie soiuri de așa-numitele pătrate „diabolice“ (sau „pandiagonalnyh“ sau „Nasik“), chiar mai uimitor decât simetrice. În plus față de proprietățile obișnuite, pătrate magice diavolești sunt toate „rupe diagonalele.“ De exemplu, numărul 2, 12, 15 și 5 și 2, 3, 15 și 14 sunt pe diagonalele poligonale, care pot fi recuperate prin plasarea două pătrate adiacente identice. Devil Square este diavolul, în cazul în care linia de sus în jos pentru a rearanja sau, dimpotrivă, linia de jos pentru a pune în sus, precum și în cazul în care să lovească ultima coloană la dreapta sau la stânga și să-l atribuie pe partea opusă a pieței. Dacă din aceleași pătrate diabolice pune mozaic (fiecare pătrat trebuie să fie în mod direct adiacent la vecinii săi), veți obține un fel de podele, în care numărul de picioare în orice grup de celule 4x4 pătrat va forma un diabolic. Numerele din cele patru celule, urmând una după alta, ca și în cazul în care au fost amplasate - vertical, orizontal sau în diagonală - cu suma da întotdeauna un pătrat constant.
Probabil cel mai uimitor mod de a descrie proprietățile pătrate diavolul a fost dezvoltat de J .. Rosser și B.
RJ. Walker. Să transforme pătrat într-un tub, apoi întinde-l și îndoiți modul în care sa transformat într-un tor (fig. 5). pătrat Toate rânduri, coloane și diagonalele diavolului în același timp, se transforma in curbe închise. A început să se deplaseze de la orice celulă și a făcut doi pași în diagonală, vom găsi întotdeauna noi înșine (de exemplu, sărind peste un pătrat), în aceeași celulă, vom merge în orice direcție. Această celulă se numește „antiteza“ din care ne-am început călătoria noastră. Suma oricăror două antipozi în torusului nostru diavolească este banda închisă 17. Oricare dintre cele patru celule dispuse de-a lungul meridianului, paralel sau în diagonală cuprinde numere a căror sumă, precum
precum și pentru toate cele patru celule care formează pe suprafața „patch-uri“ pătrat
Devil Square este diavolul, dacă produci cinci transformări diferite peste ea: 1) rândul său; 2) reflecție; 3) Linia permutare de sus în jos și invers; 4) dreapta coloană barate sau stânga și rescrierea-l în partea opusă și 5) celule permutare specifice, prezentate schematic în Fig. 6. Combinarea acestor cinci modificări, puteți obține 48 de tipuri de bază de pătrate diabolice (presupunând că o transformări valide includ rotații și reflecții, acest număr va crește la 384 tipuri). Așa cum arată și Rosser Walker, aceste transformări formează un „grup“ (adică o structură abstractă cu proprietăți definite), care coincide cu grupul transformă hipercub (cub cu patru dimensiuni) în sine.
Legătura dintre diavol și pătrate nu Hipercub greu pentru a vedea dacă cele 16 celule pătrat, comparativ cu 16 vârfuri ale hipercubului. Corespondența dintre celule și vârfurile pot fi ilustrate prin familiare proiecția bidimensională a unui hipercub (Fig. 7). Suma numerelor la cele patru noduri ale fiecăreia dintre hipercubului 24 fețe pătrate este 34. perechi antipozi, rezultând un total de 17 sunt dispuse la capetele opuse ale diagonalelor hipercubului.
Răsuciți hipercub și producerea de reflecție, acesta poate fi tradus în 384 de poziții diferite, fiecare dintre care este afișat pe planul ca fiind una dintre cele 384 pătrate ale diavolului.
F. Claude Bragdon, celebrul arhitect american, care a murit în 1946, a constatat că prin combinarea celulelor una după alta patrate magice rupte linie, în cele mai multe cazuri, vom obține un model elegant. Astfel de modele pot fi obținute prin combinarea celulelor cu numere numai chiar sau doar impare. Așa-obținut „linia magică“ Bragdon a fost folosit ca probe pentru desene de țesut, coperți de carte, decorative si decoratiuni arhitecturale headpieces. Ultima a făcut pentru fiecare capitol din autobiografia sa. Inventata le proiecta pentru grila de ventilație în plafonul Camerei de Comerț din Rochester (NY), unde a trăit, a fost construit dintr-un talisman magie rupt lo-shu. Un exemplu tipic de plan înclinat magic prezentat în Fig. 8, în cazul în care modelul este desenat direct pe pătrat Dürer.
În ciuda faptului că matematicieni au fost interesați în principal, pătrate magice cea mai mare aplicație în domeniul științei și tehnologiei au găsit pătrate latine.
pătrate latine numite celule pătrate nxn, care sunt scrise numerele 1, 2, ..., n, în așa fel încât fiecare rând și fiecare coloană, sunt toate acele numere odată. Următoarea ilustrație arată două astfel de 4X4 pătrat. Ei au o caracteristică interesantă: în cazul în care un pătrat de a impune pe de altă parte, toate perechile de numere rezultate sunt diferite. Astfel de perechi se numesc pătrate latine ortogonale.
Euler nu a putut găsi o soluție la această problemă. În 1901, sa dovedit că o astfel de soluție nu există. Între timp, Euler a demonstrat că există pătrate latine ortogonale perechi pentru toate valorile impare ale lui n și pentru valori chiar de n, care sunt despărțite de 4. Euler emis ipoteza că, pentru alte valori ale lui n, adică în cazul în care numărul n atunci când împărțit la 4 va în restul de 2 pătrate ortogonale nu există. În 1901, sa dovedit că pătratele 6x6 ortogonale nu există, și a crescut încrederea în validitatea ipotezei lui Euler. Cu toate acestea, în 1959, folosind un computer s-au găsit mai întâi pătrate ortogonale 10x10, apoi 14x14, 18x18, 22h22. Și apoi, sa arătat că pentru orice n. dar 6 există pătrate NHN ortogonale.
pătrate Magic și Latină - rude apropiate. Să presupunem că avem două pătrate ortogonale. Se umple celulele noului pătrat de aceeași dimensiune
urmează. Deliver la numărul n (a - 1) + b, unde - numărul de celule într-un prim pătrat, și b - același număr în a doua celulă a unui pătrat. Nu este greu de înțeles că, în suma pătrat rezultată a numerelor în rânduri și coloane (dar nu neapărat pe diagonală) va fi la fel.
Teoria pătratelor latine a găsit numeroase aplicații atât în matematică și aplicațiile sale. Aici este un exemplu. Să presupunem că vrem să testeze 4 asupra randamentului soiurilor de grâu din zonă, și dorim să se ia în considerare impactul gradului de vid a culturilor și efectul a două tipuri de îngrășăminte. Pentru a împărți terenul pătrat 16 pe parcelele (Figura 4). soiuri de origine grâu plantate în parcele care corespund banda inferioară orizontală, următorul fel - în patru parcele care corespunde benzii următoare, și așa mai departe (în figură desemnată culoare grad) ... Densitatea maximă a recoltei care urmează să fie lăsați în parcelele care corespund coloana verticală din stânga a figurii, și scade în tranziția spre dreapta (în figură aceasta corespunde unei reduceri de intensitate a culorii). Cifrele aceeași poziție în model de celule, să denote: mai întâi - numărul de kilograme de îngrășământ primul tip, această porțiune de inserție, iar al doilea - cantitatea de îngrășământ de al doilea tip. Nu este greu de înțeles că, în acest caz, puse în aplicare toate combinațiile posibile perechi de ambele soiuri și densitatea culturilor, precum și alte componente: pentru îngrășăminte și primul tip de îngrășământ prima și a doua specii, densitatea și fertilizant celui de al doilea tip.
Folosirea pătratelor latine ortogonale ajută să ia în considerare toate opțiunile posibile în experimente în agricultură, fizică, chimie și inginerie.
În acest curs, problemele legate de istoria uneia dintre întrebările de matematică, pentru a ocupa mintea atât de mulți oameni mari - patrate magice. În ciuda faptului că pătratele magice reale nu sunt utilizate pe scară largă în domeniul științei și tehnologiei, acestea se solicită clase de matematică mulți oameni de excepție și a contribuit la dezvoltarea altor secțiuni de matematică (teoria grupurilor, determinanți, matrice etc.).
Cele mai apropiate rude de pătrate magice - pătrate latine a găsit numeroase aplicații, atât în matematică și în aplicațiile sale în formularea și prelucrarea rezultatelor experimentale. Abstract este un exemplu de setare astfel de experiment.
Rezumatul ia în considerare, de asemenea, pătrat de magie istoric semnificativ, pătrat de Albrehta Dyurera și magie pătrat diabolic.
1. IY Depman; N.Ya.Vilenkin „Pentru paginile manualului de matematică“, București, „Iluminism“, 1989.
2. VP Trutnev "Gândiți-vă, rezolva, ghici!", București, "Iluminare", 1970.
Ball William H. Coxeter "eseuri matematice și de divertisment", București, "Mir", 1986.
4. Collegiate dicționar tânăr matematician. M. "Pedagogie", 1989.
Documente conexe:
Programul educațional de bază