1) Dacă partea și adiacente acesteia colțurile triunghiului sunt egale, respectiv, în lateral și adiacent acestora colțurile celuilalt triunghi, aceste triunghiuri sunt egale.
Să triunghiurile ABC și A1B1C1 ∠ A = ∠ A1, ∠ B = ∠ B1, AB = a1b1.
Să A1B2C2 - triunghi este egal cu triunghiul ABC. vertex B2 a1b1 este situat pe grinda, iar vârful C2 în aceeași semiplanul în ceea ce privește a1b1 liniei, unde C1 este un nod. Deoarece A1B2 = a1b1, vertex coincide cu vertex B2 B1. Deoarece ∠ B1A1C2 = ∠ B1A1C1 și ∠ A1B1C2 = ∠ A1B1C1, fasciculul coincide cu A1C1 fasciculului A1C2, B1C2 și fascicul coincide cu linia de B1C1. Aceasta implică faptul că nodul coincide cu vârful C2 C1. triunghi A1B1C1 coincide cu triunghi A1B2C2, și, prin urmare, este un triunghi ABC. Acest lucru dovedește teorema.
Teorema 2 (Teorema CEVA). Să punctele se află pe părțile laterale ale triunghiului, și respectiv. Să segmente și se intersectează la un moment dat. atunci
(Du-te în jurul triunghiului în direcția acelor de ceasornic).
Dovada. Notăm prin intersecția segmentelor și. Omit puncte si perpendiculare la linia până la intersecția cu ea la punctele și, respectiv (a se vedea. Figura).
Deoarece triunghiuri și au o direcție comună. zona lor de interes ca înălțime, realizată pe această parte, adică, și:
Ultima egalitate, deoarece are triunghiuri unghi drept și sunt similare în acute uglu.Analogichno obține
și multiplica aceste trei ecuații:
QED.
Notă. Segmentul (sau segmentul de continuare) care leagă vârful triunghiului cu punctul situată pe partea opusă sau extinderea acesteia, numită chevianoy
semn al treilea al egalității de triunghiuri.
Dacă cele trei laturi ale unui triunghi sunt egale, respectiv la cele trei laturi ale unui alt triunghi, atunci triunghiuri sunt egale.
având în vedere: # 916; ABC # 916; A1V1S1 AB = BC = a1b1 CA = V1C1 S1V1 Dovedește: # 916; ABC = # 916; A1V1S1
Să triunghiurile ABC și A1B1C1 astfel încât AB = a1b1, AC = A1C1, BC = B1C1. Trebuie să dovedim că triunghiuri sunt egale.
Să presupunem că triunghiuri nu sunt egale. Apoi ∠ A ≠ ∠ A1, ∠ B ≠ ∠ B1, ∠ C ≠ ∠ C1 simultan. În caz contrar, triunghiurile va fi egală cu prima caracteristică.
Să A1B1C2 triunghiul - un triunghi este egal cu triunghiul ABC, a cărui C2 apex se află în aceeași semiplanul cu partea superioară C1 în raport cu linia a1b1.
Fie D - punctul de mijloc al S1S2 segmentului. triunghiuri A1C1C2 și isoscel B1C1C2 o S1S2 bază comună. Prin urmare, A1D lor mediană și B1d sunt înălțimi. Aceasta înseamnă drept și A1D B1d perpendicular S1S2 drepte. A1D directă și B1d nu sunt la fel ca punctul A1, B1, D se intinda pe o linie dreaptă. Dar prin S1S2 directă D poate trage doar o singură linie dreaptă perpendicular pe acesta. Avem o contradicție. Acest lucru dovedește teorema.
Din cele de mai sus teoremele 1 și 2, care suntem interesați în proprietatea Triangle Center.
TEOREMA 3. Pe centrul cercului circumscris, centroidul G orthocenter H și orice minciună triunghi pe o singură linie, punctul G se află între punctele G și H și OG: GH = 1: 2.
Comparând această ecuație cu ecuația, obținem
Prin urmare, vectorii și OH OG, având o origine comună O, poziționate pe o linie dreaptă și | OG |. | GH | = 1. 2.
Direct, pe care punctele O, G și H, numit linia Euler.
Pentru un triunghi arbitrar în care a, b, c - laturile triunghiului, # 945;, # 946;, # 947; - respectiv unghiuri opuse la ele, și R - raza cercului în jurul triunghiului.
Este suficient să se dovedească următoarele poziția elemente: diametru Desenați | BG | pentru cercul circumscris. Prin unghiuri de proprietate înscrise într-un cerc, un unghi la vârf al unei linii drepte G și unghiul triunghiului este fie # 945;, dacă punctele A și G sunt pe aceeași parte a liniei BC, sau tt - # 945; în caz contrar. Deoarece păcatul (π - # 945;) = sin # 945;, în ambele cazuri, a = 2Rsin # 945;. Repetând același raționament pentru celelalte două laturi ale triunghiului obținem:
2) Fiecare latură a triunghiului este mai mică decât suma celorlalte două laturi.
Luați în considerare un triunghi ABC arbitrar și să demonstreze că AB Triunghi isoscel BCD 1 = 2, iar triunghiul ABD unghiul ABD> 1, și, prin urmare, unghiul ABD> 2. Deoarece triunghiul împotriva latura unghi mai mare este mare, AB Pentru orice trei puncte A, B și C, care nu se află pe o singură linie, inegalitățile: AB Fiecare dintre aceste inegalități se numește inegalitatea triunghiului 1) Într-un triunghi isoscel unghiurile de bază sunt egale. Într-un triunghi isoscel bisectoarea trase la baza, este mediana și înălțimea. Într-un triunghi isoscel, mediana trase la bisects de bază și înălțime. Într-un triunghi isoscel înălțimea trase la baza, este bisectoarea și mediana. Vom dovedi unul dintre ele Ris.1Dokazatelstvo. Să considerăm un triunghi isoscel ABC cu BC de bază și să demonstreze că AD ∠ ∠ B = C. Let - bisector al triunghiului ABC (figura 1). Triunghiurile ABD și ACD sunt egale la primul semn al egalității de triunghiuri (AB = AC, prin ipoteză, AD - partea comună, ∠ 1 = ∠ 2, deoarece AD - bisector). Din egalitatea acestor triunghiuri, rezultă că B = ∠ ∠ S. QED. 2) suprafața formula unui triunghi pe cele două părți și unghiul dintre ele Formula suprafață a triunghiului. unde p - semiperimetrul triunghi p = (a + b + c) / 2
Aria triunghiului este egală cu jumătate din produsul a două laturi înmulțită cu sinusul unghiului între acestea.
1) Suprafața unui triunghi este egal cu jumătate din baza produsului și înălțimea.
2) Aria triunghiului este egală cu jumătate din produsul a două laturi prin sinusul unghiului între acestea.
3) Aria triunghiului este egală cu produsul dintre raza semiperimetrul cercului inscris.
4) Aria triunghiului este egală cu produsul dintre cele trei laturi sale, cvadruplu împărțită la raza cercului.
5) formula lui Heron.articole similare