În cazul în care arcul curbei, având în vedere funcția de non-negativ. . se rotește în jurul axei Ox, aria suprafeței de rotație se calculează prin formula. în cazul în care a și b - începutul abscise și sfârșitul arcului.
În cazul în care arcul curbei, având în vedere funcția de non-negativ. . Se rotește în jurul axei Oy, aria suprafeței de rotație se calculează cu formula:
unde c și d - începutul abscise și sfârșitul arcului.
Dacă arcul curbei definite prin ecuațiile parametrice. . și.
În cazul în care arcul este dată în coordonate polare.
Exemplu. Calculăm suprafața formată prin rotirea în spațiu în jurul axei liniei y =. situate deasupra axei segmentului.
Din moment. atunci formula ne dă integralei
Facem o schimbare de t = x + (1/2) pentru a obține ultima integralei:
În primul din partea dreapta a integralelor vom face substituția z = t 2 -:
Pentru calcularea unei a doua integrală de pe partea dreaptă notate cu piese și să integreze, pentru obținerea unei ecuații:
Trecerea la partea stângă și împărțirea la 2, obținem
Aplicații integralei clar pentru rezolvarea unor probleme de mecanică și fizică
Job forță variabilă. Luați în considerare mișcarea unui punct de-a lungul axei OX cu o forță variabilă f. în funcție de poziția punctului de pe axa x, adică, forța este o funcție de x. Apoi, A. lucrările necesare pentru a muta punctul de material al poziției x = a pentru x = poziția b se calculează cu formula:
Pentru a calcula forțele de presiune de fluid folosi legea lui Pascal. prin care presiunea lichidului este egal cu pasul S. aria sa multiplicat cu adâncimea de imersie h. pe care p densitatea și accelerația gravitațională g. și anume
1. Cuplurile și centrele curbelor plane în masă. Dacă arcul curbei este definită de ecuația y = f (x), a ≤ x ≤ b, și are o densitate. momentele statice ale acestui arc Mx și respectul meu pentru axele Ox și Oy sunt egale
momentele de inerție IX și Iy cu privire la aceleași axe Ox și Oy sunt calculate prin formulele
și coordonatele centrului de masă, și - prin formulele
unde l - masa arcului, adică ..
Exemplul 1: Găsiți momentele statice și momentele de inerție față de axele Ox și Oy catenare arc y = chx pentru 0 ≤ x ≤ 1.
În cazul în care densitatea nu este specificat, se presupune că curba este uniformă și. Avem, prin urmare,
Exemplul 2. Găsiți coordonatele centrului de masă arc x = acost, y = Asint, situat în primul trimestru. Avem:
În aplicații utile de multe ori ca urmare Teorema Goulden. Suprafața formată în jurul unei axe situată în planul arcului curbei plane a arcului și rotirea acestuia nu se intersectează, lungimea arcului este produsul pe circumferința descrisă de centrul său de masă.
Exemplul 3. Găsiți coordonatele centrului de masă al semicercului
Din cauza simetriei. Când se rotește în jurul sferei axei Ox semicercul se obține, suprafața care este egală. iar semicercul este egală cu lungimea PA. Prin Teorema 4 au Goulden
Aici. și anume centru de masă C are coordonatele C.
2. Probleme fizice. Unele aplicații ale definit integralei în rezolvarea problemelor fizice sunt ilustrate în exemplele de mai jos.
Exemplul 4 Viteza de mișcare rectilinie a corpului este exprimat prin (m / s). Găsiți calea parcursă de corpul timp de 5 secunde de la începutul mișcării.
Deoarece traseul parcurs de corp, la o viteză v (t) pe intervalul de timp [t1. t2], exprimată de integrala
Exemplu. Noi găsim regiunea zona delimitată situată între axa și linia y = x 3 -x. ca
linia intersectează axa în trei puncte: x1 = -1, x2 = 0, x3 = 1.
Zona limitată între linie și axa este proiectată pe segmentul. Și în intervalul. linia y = x 3 - x merge deasupra axei (adică, linia y = 0, și - sub zona de câmp, prin urmare, se poate calcula după cum urmează :.
Exemplu. Gasim zona câmp, închisă între prima și a doua bobină a spiralei lui Arhimede r = a (a> 0) și axa orizontală a segmentului.
Primul turn al spiralei corespunde schimbării în intervalul unghiului de la 0 la. iar al doilea - de la la. Pentru a aduce o schimbare în argumentul la un decalaj, vom scrie ecuația a doua bobină de o spirală în formă. . Apoi, zona va fi găsită prin formula și punerea:
Exemplu. Găsim volumul corpului delimitat de o suprafață de linie revoluție y = 4x - x 2 în jurul axei (cu).
Pentru a calcula volumul corpului de rotație este formula aplicabilă
Exemplu. Calculati lungimea arcului a liniei y = lncosx, situat între liniile și.
(Ne-am luat ca valoarea rădăcinii. Nu -cosx, deoarece COSX> 0 la. Lungimea arcului este
Exemplu. Calculăm zona Q de rotație a suprafeței obținute prin arcul de rotație a cicloidale x = t - Sint; y = 1 - cost, când. în jurul unei axe.