Pe Specificare derivatul cu formula am derivat un derivat al funcției \ exponențială (y = \), iar funcția logaritm natural \ (y = \ ln x \). Mai jos considerăm funcția exponențială și logaritmică cu o bază arbitrară și de a obține expresii pentru instrumente financiare derivate.
Derivata funcției logaritmice
Începem cu derivata funcției logaritmice \ (y = x \), în care baza \ (a \) este mai mare decât zero și nu este egal cu unitatea: \ (a> 0 \) \ (a \ ne 1 \). Conform definiției derivatului, da argument \ (x \) un increment \ (\ Delta x> 0 \), unde presupunem că \ (x + \ Delta x> 0 \). Funcția logaritmică va primi o creștere corespunzătoare a \ (\ Delta y \), egal cu \ [\ Delta y = \ stânga (\ dreapta) - x \.] despartitor ambele părți prin \ (\ Delta x \): \ [>> = \ frac> \ stânga [_a> \ left (\ dreapta) - _a> x> \ dreapta].> => \ frac >> => \ stânga (>> \ dreapta)> \] Să \ (\ mare \ frac> \ normalsize = \ mare \ frac \ normalsize \). Apoi, ultima ecuație poate fi rescrisă în forma \ [>> = \ frac> \ stânga (>> \ dreapta)> = \ cdot n \, \ stânga (> \ dreapta)> \.] Folosind proprietatea logaritmului funcției de putere, obținem \ [\ frac >> = \ frac> \ dreapta) ^ n>. \] Presupunând \ (\ Delta x \ la 0 \) (în acest caz, \ (n \ la \ infty \)), vom găsi limita a raportului dintre creșterile, și anume, .E. derivat al funcției logaritmice: \ [\ frac >>> = \ stânga [_a >> \ dreapta)> ^ n >> \ dreapta]> = \ stânga [> \ dreapta)> ^ n >> \ dreapta]> \.] aici am folosit limita de proprietate de funcții complexe, având în vedere că funcția logaritmică este continuă. Limita între paranteze pătrate este numărul de bine-cunoscut \ (e \). care este de aproximativ \ (2.7 \ color \ color \ ldots \) (\ (2.7 \), urmat de doi ani de la naștere de Leo Tolstoy): \ [\ lim \ limits_> \ dreapta) ^ n> = e \ aprox 2,7 \ culoare \ color459 \ ldots \] Ca urmare, derivata funcției logaritmică este de forma \ [_ a> x> \ dreapta) ^ \ prime> = \ frace \] Conform formulei de trecerea la noul logaritm de bază au :. \ [e = \ frac >> = \ frac>. \] Astfel, \ [y „\ stânga (x \ dreapta) = _a> x> \ dreapta) ^ \ prime> = \ frac> \]. În cazul \ (a = e \), obținem logaritmul natural. derivat care este exprimat prin \ (\ dreapta) ^ \ prime> = \ mare \ frac \ normalsize. \)
De asemenea, remarcăm un caz special de important - un derivat al logaritmului comun. \ [\, X> \ dreapta) ^ \ prime> = \ frac \, e >> = \ frac \] în cazul în care numărul \ (M \) este egal cu \ (M = \ textul \, e \ aproximativ 0.43429 \ ldots \ )
Derivata funcției exponențiale
Deoarece funcția exponențială cu bază \ (a \) (\ (a> 0 \) \ (a \ ne 1 \)) și o funcție logaritmică cu aceeași bază formează o pereche de funcții reciproc inverse, derivata funcției exponențiale poate fi găsită folosind un derivat al teoremei funcției inverse.
Având în vedere o pereche de funcții reciproc inverse \ (y = f \ stânga (x \ dreapta) = \) și \ (x = \ varphi \ stânga (y \ dreapta) = y. \) Apoi \ [> \ dreapta) ^ \ prim = f „\ stânga (x \ dreapta)> = >> = _a> y> \ dreapta)> ^ \ prime >>>> = >>>> = = \ ln a.> \] în cazul particular al \ ( a = e \) este derivata funcției: [.> \ dreapta) ^ \ prime> = \ ln e = \] \ în exemplele de mai jos, derivata unei funcții date.