4. Mișcarea sferică a unui solid.
Se numește mișcare sferică a unui corp rigid care are un punct fix.
Corpul D face mișcare sferică în raport cu punctul O fix (fig. 4.1). Punct de corp D se deplasează pe o sferă cu centrul în punctul O.
Pentru a caracteriza mișcarea corp sferic introduce două ortogonale sistem de referință c origine la punctul fix O. OHUZ fix și mobil Ohuz. D legate de corp și se deplasează cu el despre punctul O. Direct OK. care este intersecția dintre planul XY cu planul xy. Acesta a numit linia de noduri. Poziția mobilă în raport cu sistemul fix Ohuz OHUZ poate fi setat folosind Euler unghiuri: unghiul de precesie, unghiul de rotație corespunzătoare și unghiul de nutație. Prin urmare, pentru specificarea unei mișcări sferice ale corpului solid necesare pentru a seta unghiurile Euleriene ca o funcție de timp:
Ecuațiile (4.1) sunt ecuațiile de mișcare a unui corp solid sferic. La schimbarea numai unghiul D corp se va roti în jurul axei OZ o viteză unghiulară; numai la schimbarea unghiului de corp D este rotit în jurul axei Oz cu o viteză unghiulară; numai atunci când schimbarea unghiului D corpului se va roti în jurul nodurile cu linii OK viteza unghiulară (fig. 4.2). Când corpul se mișcă D toate cele trei unghiuri Euler sunt schimbate simultan, iar mișcarea rezultată este o mișcare de rotație cu viteza unghiulară instantanee
Fig. Figura 4.2. 4.3
Vector Direct SAU direcționat de-a lungul căreia viteza unghiulară instantanee de rotație a corpului rezultată se numește axa instantanee de rotație. Când mișcarea sferică a unui corp D instantaneu sau axa își schimbă poziția în spațiu, instantanee unghiulare modificările vectorului de viteză în mărime și direcție (fig. 4.3). accelerația unghiulară a corpului de la momentul t este un vector
Pe de altă parte, potrivit (1.2) viteza punctului A - capătul vectorului instantaneu viteza unghiulară
În consecință, de fiecare dată când vectorul de mișcare a corpului sferic este trimis ca skorostitela unghiulară instantanee unghiulară uskoreniyav vector skorostikontsa și aplicat la un punct fix O (Figura 4.3.):
OE directă. a lungul căreia vectorul accelerației unghiulare. Se numește axa accelerației unghiulare.
În cazul în care direcțiile de deplasare a corpului sferice vektorovine meci.
Pentru a determina un punct M arbitrar al tragerii D a vitezei corpului punctul O fixat pe un vector rază M punct. Apoi, în conformitate cu (1.2) și (2.18)
deoarece constanta vector în magnitudine deoarece distanța dintre punctele G și corpul rigid M atunci când de conducere nu este schimbat. Prin urmare, atunci când o viteză de deplasare a corpului sferic de orice punct este definită ca viteza sa de rotație în jurul axei instantanee.
Pentru a determina viteza unui punct M omis din acest punct de pe axa instantanee RR perpendicular cp. atunci
Fig. Figura 4.4. 4.5
Vector este direcționat în funcție de (4.5) perpendicular pe planul care trece prin punctul M și OR axa instantanee de rotație într-o direcție (CP, fig. 4.4).
Pentru a determina accelerarea punctul M atunci când mișcarea corp sferic calcula derivata a ecuației (4.5):
Se numește accelerare de rotație M. și
-osestremitelnymuskoreniem punctul M.
În consecință, accelerarea oricărui punct cu mișcare sferică este definită ca suma accelerațiile sale geometrice de rotație și osestremitelnogo.
Modulele osestremitelnogo și accelerații de rotație sunt determinate prin formulele:
în care: - valoarea perpendiculara a scăzut de la punctul M de pe axa unghiulară accelerare OE. vectorul accelerație Osestremitelnogo este direcționată conform (4.9) de la punctul M la instantanee PO axa (de-a lungul cp. Fig. 4.5). vector accelerație rotațională potrivit (4.8) are ca scop un punct perpendicular pe planul M, care seamănă prin acest punct și axa accelerației unghiulare în direcția OE (fig. 4.5).
complet puncte vector de accelerare la mișcarea sferică a unei diagonale a paralelogramului definit de vectorii și ambele părți (Fig. 4.5). Prin urmare, modulul este determinat de formula
LIBERA CIRCULAȚIE A SOLIDE
Luați în considerare liber solid D. relativă se deplasează într-un sistem de referință staționar Ohuz (fig. 4.6). poziția corpului, în orice moment dat este determinat în mod unic printr-un arbitrar strict asociat triunghi M1 M2 M3. și anume nouă locuri de muncă coordonate carteziene care definesc poziția vârfurile triunghiului.
Cu toate acestea, deoarece distanța dintre vârfurile triunghiului mișcării sale nu este modificat (ca distanța dintre oricare două puncte ale unui solid), coordonatele nodurilor sunt conectate între ele prin relațiile:
Acolo unde xk, yk, zk (k = 1, 2, 3) - coordonate carteziene k - lea nod M1M2M3 triunghi. L12, L23, L31 - distanța dintre nodurile respective ale triunghiului. Prin urmare, pentru a determina poziția D a corpului este suficient pentru a specifica șase coordonate carteziene, restul de trei pot fi găsite folosind ecuațiile de mai sus înregistrate.
ChisloSnezavisimyh coordonate determină în mod unic poziția corpului în spațiu egal cu numărul de grade de libertate. Prin urmare, pentru 6 S = corpul solid liber.
În mod tipic, independent selectat coordonate cartezian coordonate xA, YA. zA punct arbitrar A. Adoptarea pol, și trei unghiuri Euler în raport cu sistemul de coordonate carteziene Ah1u1z1. dvizhuscheosya translațional cu poli A (pentru simplitate în Fig. 4.7 unghiurile Euler nu sunt arătate). Pentru a seta libera circulație a corpului D este necesară pentru a întreba:
Ecuațiile (4.13) sunt ecuațiile de o mișcare liberă a corpului rigid. Din (4.13), rezultă că, dacă vom fixa unghiurile Euler, corpul D se mișcă înainte ca un terminal candidat A. opri mental și dacă terminalul A efectuează D mișcare corp sferic în jurul acestui pol A. La corp rigid liber aceste două mișcări au loc simultan . Prin urmare, libera circulație a solid telaDiz cu o poziție este compusă din mișcarea de translație a corpului este infinit aproape împreună cu poli A și rotirea în jurul unei axe instantanee AR extinzându-se prin polul (Fig. 4.7).
Prin urmare, viteza și accelerația oricărui punct M corp în mișcare liber constau viteze și accelerații ale punctului M în mișcarea înainte împreună cu poli A și a vitezei și accelerarea punctul M într-o mișcare sferică în jurul acestui pol și sunt definite prin formulele:
unde, - viteza și accelerarea pol A. - viteză, și - accelerarea punctul M în mișcarea A sferic în jurul stâlpului.
Exemplul 4.1. Conul cu un unghi la vârf și raza bazei de rulare pe fix fără plan de alunecare (Fig.4.8). centru de bază de viteză. Se determină în orice moment viteza unghiulară, accelerația unghiulară, viteza și accelerația punctului B a conului.
Pentru a rezolva problema în următoarele date: 20 cm 60 cm / s ..
Decizie. Conul face mișcare sferică. Pentru a determina poziția instantanee a axei conului sau găsi două puncte a căror viteză la un moment dat sunt zero. Aceste puncte sunt punctul G și un punct arbitrar al conului tangență L cu un plan xy fix. Direct SAU - generatoarei conului care trece prin punctele O și L în fiecare moment al mișcării sale este axa instantanee de rotație a corpului (Figura 4.8.).
Pentru a determina viteza unghiulară instantanee a căderii conului de la punctul C OR axa perpendiculară. Apoi, în conformitate cu (4.6)
Gasim viteza punctului B. ptoza din acesta perpendicular VC pe axa instantanee egală în mărime OR 2 (Figura 4.8.):
În ceea ce privește punctul, rata - este constantă în mărime, vectorul vitezei unghiulare este, de asemenea, un modul constant. Rolling con la un capăt planul xy fix al vectorului - punctul A descrie un cerc cu o rază (Figura 4.8.). Conform (4.4)
în cazul în care - unghiul de viteza de rotație în jurul axei conului Oz. Pentru a efectua calculul punctului C pe axa Oz perpendicular (Fig. 4.8)
Pentru a determina punctul conului de accelerație în utilizare Teorema (4.7):
unde 415.7 cm / s 2.
Osestremitelnogo vector accelerație dirijată din punctul B pe axa instantanee de rotație OR (fig. 4.9). vectorul accelerație rotațională perpendicular pe un plan care trece prin vectori. complet vectorul accelerație puncte B - diagonala paralelogramului definit de vectorii și de ambele părți ale modulului care
Testați-vă cunoștințele
1. De ce am nevoie pentru a cere pentru a cere o mișcare sferică a unui corp rigid?
2. Ceea ce se numește axa instantanee de rotație a corpului?
3. Cum este direcția vectorului accelerației unghiulare a unui corp la un moment dat cu o mișcare sferică?
4. Cum este magnitudinea și direcția vitezei corpului în la punctul de mișcare sferică?
5. Cum este magnitudinea și direcția accelerației organismului la punctul de mișcare sferică?
6. Cât de multe grade de libertate are un corp cu o mișcare sferică?