Coeficienții binom - în coeficienții de dilatare \ ((1 + x) ^ n \) în puterile \ (x \) (r n teorema binom ..) $$ (1 + x) ^ n = + x ^ 2 + \ cdots = \ sum_k x ^ k. $$ valoarea coeficientului binomial \ (\) este definit pentru toate numerele întregi \ (n \) și \ (k \). Formulele explicite pentru calcularea coeficienților binomial: $$ = \ frac = \ frac $$ pentru \ (0 \ lechiv k \ leq n \); $$ $$ = 0 pentru \ (k \) sau \ (0 \ leq n Binom coeficient \ (\) este o generalizare a numărului de combinații \ (C ^ k_n \), care este definită numai pentru numere întregi nenegative \ (n \) \ (k \). Coeficienții binom apar adesea în probleme combinatoriale, și teoria probabilității. O generalizare a coeficienților binomiali sunt teorema multinomial.triunghiul lui Pascal [citare]
Identitatea = + $$ $$ permite de a asigura coeficienți binom non-negativ \ (n \) \ (k \) ca triunghiul unui Pascal în care fiecare număr este suma celor două părinte: $$ \ begin n = 0: 1 \\ n = 1: 1 1 \\ n = 2: 1 2 1 \\ n = 3: 1 3 3 1 \\ n = 4: 1 4 6 4 1 \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ vdots \ vdots \ End $$
tabel triunghiulara propus de Pascal în lucrarea sa „Treatise pe triunghiul aritmetic“ (1654), diferă de aici, scrise de 45 ° rotit. Tabelele de imagine coeficienții binomiali au fost cunoscute anterior.
Proprietăți [modifică]
Este interesant faptul că, atunci când luăm în considerare seria în triunghiul lui Pascal, format din coeficienții binomiali. apoi, în limita obținem funcția de distribuție normală - distribuția Gauss.
Identitățile [citare]
Asimptotică și evaluare [citare]
Algoritmi de calcul coeficienți binom [citare]
Coeficienții binom poate fi calculată cu ajutorul formulei \ (= + \), în cazul în care valoarea stocată la fiecare pas \ (\) când \ (k = 0,1, \ puncte, n \). Acest algoritm este deosebit de eficient, dacă doriți să obțineți toate valorile \ (\) la \ fix (n \). Algoritmul necesită \ (O (n) \) memorie (\ (O (n ^ 2) \) în calculul întregului tabel de coeficienți binom) și \ (O ^ 2) (n \) timp (pe presupunerea că fiecare număr ocupă unitate memorie și operațiunile sunt efectuate cu numerele de pe unitatea de timp).
A doua metodă se bazează pe \ identitate (= \ frac \). Acesta vă permite să se calculeze valoarea \ (\) la \ fix (k \). Algoritmul necesită \ (O (1) \) de memorie (\ (O (l) \), dacă este necesar, pentru a conta \ (l \) coeficienți consecutivi fix \ (k \)) și \ (O (k) \) de timp.