Variația funcției - caracteristica numerică a funcțiilor unei variabile reale, asociate cu proprietățile sale diferențiale.
1) Fie f (x) - o funcție de o variabilă x reală, definită pe intervalul [a, b]; variația V sale b a (f) este superior sumele tone legate de forma
unde a = x0 <х1 <. Funcții f (x) clasa V [a, b] aproape peste tot diferențiabile [a, b], și pentru extinderea acestora are loc unde A (x) - absolut continuă, S (x) - funcția singular, D (x) - funcția sare (expansiune Lebesgue de variație limitată). Această descompunere este unică dacă f (a) = A (a) (a se vedea [3]. Și [2], p. 290). Inițial, clasa V [a, b] C a fost introdus de Jordan în legătură cu generalizarea Dirichlet convergența caracteristică a Fourier serie funcții monotone pe porțiuni. K. Zhor-dan a dovedit că seria Fourier-2p periodice. Într-o clasă de funcții [0, 2π] converg în fiecare punct al axei reale. Mai târziu, cu toate acestea, o funcție de variație mărginite sunt utilizate pe scară largă în diverse domenii ale matematicii, mai ales în teoria integrală Stieltjes. Uneori clasele VPH considerate [a, b], care sunt definite după cum urmează. Fie F (u) (u ≥ 0, F (0) = 0) este pozitiv atunci când u> 0 funcție monoton crescătoare. Notăm Fa V b (f) supremumul sumelor ale formularului unde a = x0 cu 1 ≤ p Lit. [1] Jordan S. „S. r. Acad. Sci. », 1881, t. 92, № 5, p. 228-30; [2] Teoria IP Hatanson a funcțiilor unei variabile reale, 2nd ed. M. 1957; [3] A. Integrarea Lebesgue și funcțiile primitive de căutare (Transl. Din franceză.), M.-L. 1934; [4] seria Bari N. K. trigonometrice, Moscova, 1961; [5] Wiener N. «Massachusetts J. Math și Phys.», 1924, v. 3, p. 72-94; [6] L. S. Young «C. r. Acad. Sci. », 1937, t. 204, № 7, p. 470-72. 2) o funcție de mai multe variabile, există diferite definiții ale variației (variație Arzela, Vitali variație Pierpont variație Tonelli variație plan, variația Frechet, variație Hardy). Este dovedit de asemenea definiție roditor următoarea (vezi [1].), Bazată pe utilizarea Banach indicatrix. Lăsați funcția valori reale f (x) = f (x1. Xn) este definită și măsurabilă Lebesgue n-dimensional cub Qn. Variatia Vk (f) de ordinul k (k = 1, 2 n) Funcția f (x) pe cub Qn este numit. număr în care vk-1 (lt) reprezintă (k-1) -lea variație pluralitatea lt = n. f (x) = t), iar integrala este Lebesgue. Această definiție ne permite să își desfășoare funcțiile de mai multe variabile, multe proprietăți ale funcțiilor de variație mărginită de o variabilă. Ex. b) Dacă secvența funcțiilor fs (x) (s = 1, 2) converge la f (x) uniform pe Qn. c) Dacă funcția f (x) este continua pe Qn și toate variantele sale sunt finite, atunci f (x) aproape peste tot are un diferențial totală. g) Dacă funcția f (x) este absolut continuă pe Qn. d) Dacă funcția f (x) este continua pe Qn cub cu latura de 2π, o variantă finală a tuturor ordinelor de pe cub și Cn poate fi continuată în mod periodic, cu o perioadă de 2π pentru fiecare xk variabilă. k = 1. n pentru tot spațiul n-dimensional, atunci seria Fourier converge uniform să-l pe Qn Pringsheim. variații ale membrelor condiții suficiente: dacă funcția f (x) pe cub Qn are derivati continue ale tuturor ordinelor de până la (n-k + 1) -lea inclusiv, ordinea variația k este finită. Această teoremă este definitivă, în sensul că nu pot fi îmbunătățite condițiile de pe netezimea sau la unul k. Lit. [1] Vitushkin A. G. variații multidimensionali, M. 1955.
articole similare