O formulă pentru derivata funcțiilor sumă și diferență. O dovadă și discutată în detaliu exemple de aplicare a acestei formule.
Să și sunt funcții ale variabilei x independente. Lăsați-i să se diferențieze într-un anumit interval de variabila x. Apoi, în acest domeniu, derivata sumei (diferenței) a acestor funcții este suma (diferența) din derivatele acestor funcții:
(1).
evidență
Deoarece funcțiile și diferențiabil pentru. atunci există următoarele limite, care sunt derivați ai acestor funcții:
;
.
Luați în considerare functia y a variabilei x. care este suma funcțiilor și.
.
Aplicăm definiția unui derivat.
Astfel, am demonstrat că derivatul unei sume de funcții este egală cu suma derivatelor:
.
În același mod se poate demonstra că derivatul diferenței dintre funcțiile este egală cu diferența dintre derivații:
.
Acest lucru poate fi demonstrat într-un alt mod, folosind doar dovedit a fi regula pentru diferențierea sumelor și îndepărtarea de obicei permanentă a semnului derivatului:
.
Aceste două reguli pot fi scrise ca o ecuație:
(1).
Am considerat regula pentru identificarea derivata a sumei de două funcții. Această regulă poate fi generalizat la suma și diferența de orice număr de funcții derivabile.
Derivatul sumei (diferenței) a oricărui număr finit de funcții derivabile este egală cu suma (diferența) a derivaților acestora. Având în vedere normele de eliberare a semn constant al derivatului. Această regulă poate fi scrisă ca:
.
Sau într-o formă extinsă:
(2).
Aici - permanent;
- funcții derivabile ale variabilei x.
dovada Corolar
Pentru un număr n arbitrar este metoda de inducție aplicabilă. Să ecuația (2) este îndeplinită. Tod să aibă:
Aceasta este presupunerea că ecuația (2) este satisfăcută că ecuația (2) este îndeplinită. Deoarece ecuația (2) este îndeplinită. atunci este valabil pentru toți.
Corolarul este dovedit.