Astăzi, vom continua să studieze problema la cea mai mare și cea mai mică valoare a examenului la matematică. Acum avem o problemă destul de serioasă, care va trebui să folosească formula derivată privat. Deci:
Sarcina B15. Găsiți cea mai mică valoare a funcției pe intervalul [0; 1]:
Găsirea cea mai mică valoare funcției pe intervalul: algoritmul universal
Mai întâi de toate să ne amintim: cum rezolva problemele de acest tip în care doriți să găsiți cel mai mic sau cea mai mare valoare a funcției. Soluția acestor probleme constă în mai multe etape:
- În primul rând, suntem derivate: f „;
- Apoi am echivala derivatul la zero și de a găsi rădăcinile. Aceste puncte sunt puncte de candidate maxime și minime, adică. E. Candidații extremelor. f „= 0;
- Apoi, din toate rădăcinile găsite selectăm pe cei care se află în segmentul nostru. În cazul nostru, este vorba despre intervalul [0; 1]. Prin urmare, trebuie să găsim astfel de X_, X_, care pe de o parte, sunt rădăcinile ecuației f „= 0 (adică, sunt zerourile derivatului ..), în timp ce celălalt - minciună în intervalul [0; 1]: X_, X_ [0; 1]
- În această etapă, pot fi cele mai mari greșeli substituim în funcția original, primele capete ale segmentului - f (0), f (1) - și mai târziu în aceeași funcție zerourile de substituție derivate - găsi valorile f (X_), f (X_).
Practica arată că, de regulă, avem doar o singură rădăcină. Acest lucru este fundamental doar și există un răspuns la întreaga problemă, adică. E. Cel mai mic sau cea mai mare valoare a funcției, dar există și excepții, astfel încât lungimea de capete, de asemenea, trebuie să expună.
Amintiți-vă, nu întotdeauna cea mai mare sau cea mai mică valoare a funcției se realizează la punctele de maxim sau minim. Este posibil ca cea mai mare sau cea mai mică valoare are loc la punctele finale.
Soluția de rezolvare sarcina B15 a algoritmului
Să aplicăm acest lucru funcțiile noastre algoritm patru etape:
Pasul 1: Considerăm derivata
Așa cum ne confruntăm cu o fracțiune, dar acum trebuie luate în considerare fracțiuni derivate. Permiteți-mi să vă reamintesc că derivatul este considerat privat, prin următoarea formulă:
Vom aplica această regulă pentru funcția noastră. Considerăm derivatul:
Investigat cu numărătorul. Primul gând care ia naștere - dezvăluie toate consolelor și termeni de rezultat. Dar aceasta nu este cea mai bună opțiune, pentru că există un mod mai frumos și rapid. Să observăm: prima paranteză - (1 + 2) și ultima paranteza - (1 - 2), și anume, aceste paranteze sunt opuse unul altuia ... putem schimba semnele cu negativ. A se vedea:
Acum vedem că, în primul și în al doilea termen este un factor comun, și anume - (1 + 2). Să-l va prezenta un factor comun pentru consola:
Gata! derivat privat găsite.
Pasul 2: Am echivala derivatul la zero și de a rezolva ecuația
Avem un design destul de simplu, care este derivat nostru. Vom trece la al doilea pas: egalează această construcție la zero, iar noi credem rădăcini:
Fraction este egal cu zero, atunci când este zero, numarator, iar numitorul nu este zero. Factorul „2“, în acest caz, nu poate fi zero, astfel:
-1 + 2 x = 0;
x = 1/2.
Desigur, acest lucru va fi numitorul x este diferit de zero, pentru că atunci când înlocuim obținem 5/4, ceea ce nu este în mod clar de zero. De aceea, x = 1/2 este singura radacina (unde derivatul este zero).
Etapa 3: Selectarea rădăcinilor intervalului
Vom trece la al treilea pas: vom selecta rădăcinile care se află în intervalul [0; 1]. În acest caz, rădăcina 1/2 aparține cu adevărat acest segment:
Prin urmare, ne putem deplasa în siguranță la a patra etapă și expune toate cele trei numere - și anume, rădăcina de 1/2, iar capetele segmentului 0 și 1 - în funcția originală:
Etapa 4: Substituția valori variabile în funcția originală
Să înlocuiască. Să începem cu cele mai dificile - numărul de x = 1/2. Considerăm că:
Acum, înlocuiți x = 0:
În cele din urmă înlocui x = 1, adică, capătul din dreapta al segmentului ..:
Avem același număr.
Calcularea valorilor maxime ale funcției pe intervalul
Total avem trei valori ale funcției, adică. E. Trei candidați pentru răspunsul. De fapt, două dintre ele, pentru că ultimele două sunt aceleași. Obținem două numere: y = 0,6 și y = 1.
Să ne întoarcem la starea inițială a problemei, uita-te la ceea ce se cere de la noi. Și noi sunt necesare pentru a găsi cea mai mică valoare a funcției. Aceasta este, din cele două numere rezultate -. 0.6, și 1 - pentru a alege cel mai mic. Evident, răspunsul este y = 0,6. Toată problema este rezolvată.
Notă importantă privind funcția de valorile maxime și minime
Singurul punct pe care aș dori să vă atrag atenția asupra este aceasta. Hai să mergem încă o dată înapoi la algoritmul:
- Găsiți derivatul: f „;
- Pentru a rezolva ecuația: f „= 0;
- Se colectează rădăcinile în intervalul: X_, X_ ∈ [0; 1];
- Se calculează valoarea funcției în zerouri rămase ale derivatului și punctele finale: f (0); f (1); f (X_); f (X_).
În secțiunea a patra, presupunem că valoarea funcției nu este numai în zerourile derivatului, dar, de asemenea, la punctele finale. Mulți studenți au o întrebare: de ce deranjez pentru a citi valoarea funcției la punctele finale, și dacă da, este clar că cea mai mare sau mai mică valoare este făcută la zerourile derivatului?
Vreau să vă avertizez: aceasta este o concepție greșită foarte frecvente și iluzie. Pentru că dacă nu există nici o restricție nu este întotdeauna cea mai mare sau cea mai mică valoare a funcției este realizată la punctul de maxim sau minim.
Să considerăm un exemplu simplu. Aruncati o privire la această funcție:
Deci, în cazul în care se ajunge la cea mai mare și cea mai mică valoare a acestei funcții, și în cazul în care - punctul de maxim și minim? punctul minim este clar - să o numim x 0. Funcția de degradare se înlocuiește cu o creștere. Dimpotrivă, punctul x 1 este valoarea maximă a punctului, deoarece este înlocuită cu o creștere scădere a funcției.
Cu toate acestea, valoarea maximă a funcției este realizată nu în punctul x = x 1. și la sfârșitul segmentului - este la funcția punctului x = b ridicat la înălțimea maximă. Pe de altă parte, cea mai mică valoare este obținută la punctul x = a. și nu în punctul de minim x = x 0. Deci, amintiți-vă funcția maximă și valoarea minimă pe intervalul nu este atins în mod necesar la punctele de maxim și minim. Această valoare poate fi, de asemenea, realizate la punctele finale.
Nu este întotdeauna cea mai mare sau cea mai mică valoare a funcției la extremelor este atins! Foarte des apare la punctele finale.
În ceea ce privește sarcinile examenului în matematică este posibil să spun următoarele: aceste funcții grafice atunci când cea mai mare valoare este de la punctele finale, în aceste sarcini de examen sunt extrem de rare. Cu toate acestea, ei încă mai există, inclusiv în acest examen, și nu doar în sonda. Prin urmare, ar fi un mare păcat dacă, știind cum se rezolvă problema, tu, cu toate acestea, recunosc o eroare în ea - pur și simplu pentru că ei nu verifica lungimea capetelor.
- Pregătirea gratuită pentru examenul de 7 lecții simple, dar foarte util + teme pentru acasă
