Atragem valori dovezi având în vedere diferitele cazuri a și b.
În cazul în care a și b - numerele pozitive, modulele lor coincid cu valorile lor: | A | = A, | b | = B. Din aceasta rezultă că | a + b | = | A | + | B | .
În cazul în care un - un număr negativ, și b - un număr pozitiv, expresia | a + b | poate fi scris ca | b - a |. Expresia | A | + | B | este egală cu suma valorilor absolute ale a și b. care este mai mare decât b - a. Prin urmare, | a + b | <|a| + |b| .
În cazul în care b - un număr negativ și - pozitiv, atunci | a + b | Este nevoie de forma | a - b |. De asemenea, este mai mică decât suma modulelor | A | + | B | .
În cazul în care a și b - negativ numere, obținem | -a - b |. Rezultatul acestei expresii este | a + b | (Adică o | -a - b | .. = | - (a + b) | = | a + b |). Dar sa dovedit că | a + b | = | A | + | B |. în consecință | -a - b | = | A | + | B | .
Dovada 2) | ab | = | A | × | b |:
Aici, spre deosebire de plus, pentru a face față toate cazurile nu este necesară în mod special, și anume. K. Valoarea absolută a produsului oricăror numere întregi (fie pozitiv, Li negativ) nu depinde de multiplicatorilor semn. În termeni | ab | vom multiplica mai întâi numărul și apoi „resping“ semnul (negativ în cazul în care este), în ceea ce privește | A | × | b | În primul rând vom scăpa de semne, și apoi se înmulțește. Dar, din acel punct la care a fost luată modulul (înainte sau după multiplicare) nu depinde de valoarea absolută a produsului.
Dovada 3), un ≠ 0:
În cazul în care un - un număr pozitiv, atunci | A | = A și, prin urmare, egalitatea dorită este adevărată, adică. K. Și partea dreaptă și stângă sunt egale cu 1 / a.
În cazul în care un - un număr negativ, atunci avem. Luând modulul în ambele expresii ar conduce la unitatea de diviziune în valoarea absolută a unui. Deci, aceste expresii sunt egale între ele.
În cazul în care a și b - numerele pozitive, modulele lor coincid cu numerele ei înșiși. Prin urmare, | a - b | = | A | - | b |. pentru că nu se poate lua toate modulele, și apoi cele două părți obține o - b.
În cazul în care un - un număr pozitiv, și b - negativ, expresia | a - b | ia forma | a + b |. care este mai mult decât | A | - | b |.
În cazul în care un - un număr negativ, și b - pozitiv, atunci avem | -a - b | = | - (a + b) | = | A + b |. care este mai mult decât | A | - | b | .