O distribuție discretă. Să considerăm discret variabila aleatoare X, în care legea de distribuție nu este cunoscută. Fie n studiile efectuate în cadrul căreia valoarea X au luat n1 ori valoarea x1, n2 ori valoarea x2. ori nk valoarea XK, și.
frecvențele empirice numit Ni reale de frecvență observate.
Să presupunem că există motive pentru a presupune că variabila X studiat este distribuit conform unor legi clare. Pentru a verifica dacă această ipoteză este în concordanță cu observațiile, se calculează frecvența valorilor observate, T. E. sunt teoretic ni frecvență „a fiecăruia dintre valorile observate pe presupunerea că valoarea X este distribuită pe legea intenționat.
Nivelarea (teoretic), spre deosebire de fapt observat frecvențele empirice numite ni frecvență „rezultă teoretic (calcul). Nivelarea frecvență este găsit de egalitate
unde n - numărul de încercări; Pi - probabilitatea valorilor xi observate, calculate în ipoteza că X are distribuția așteptat.
Astfel, frecvența de nivelare valoarea observată xi a unei distribuții discrete este egal cu numărul de teste asupra probabilității ca valoarea observată.
Exemplu. Rezultatul experimentului constă din n = 520 încercări, în fiecare dintre acestea numărul înregistrat de apariții ale anumitor xi eveniment, a primit următoarea distribuție empirică:
Obs. valori. xi 0 1 2 34567
EMF. frecvență. ni 167 130 69 120 27 5 1 1
Găsiți nivelare ni frecvență „pe ipoteza că aleatoare X variabilă (populația generală) de distribuție Poisson.
Decizie. Este cunoscut faptul că parametrul # 955;, care este definit de Raspredelenie Puassona, este așteptarea acestei distribuții. Ca o estimare a speranța matematică de a primi un mediu selectiv (a se vedea. Cap. XVI, § 5), și ca o evaluare # 955; puteți lua media eșantionului. Ușor de găsit cu condiția ca proba medie este de 1,5, prin urmare, poate fi luată # 955; = 1,5.
Astfel, formula Poisson
Folosind această formulă, descoperim că P520 de probabilitate (K) pentru k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (pentru indicele de simplicitate 520 omise în continuare): P (0) = 0.22313, F (1 ) = 0.33469, F (2) = 0,251 021 P (3) = 0.125511 și P (4) = 0.047066, F (5) = 0.014120, F (6) = 0.003530, P (7) = 0.000755. Noi găsim frecvența de nivelare (rezultate de multiplicare sunt rotunjite la unitate):
găsi în mod similar cu egalizare de frecvență de repaus. Ca rezultat, obținem:
EMF. frecvență. 123 167 130 69 27 mai 01 ianuarie
regex. frecvență. 174 131 65 116 25 7 2 0
Divergența relativ mici empirice și frecvența de egalizare confirmă ipoteza că obiectul considerat de distribuție Poisson.
Rețineți că, dacă proba Calculare varianța pe această distribuție, s-ar părea că este un mediu selectiv, adică 1.5. Aceasta este o altă confirmare a ipotezei de mai sus, ca și pentru distribuția Poisson # 955; = M (X) = D (X)
Compararea frecvențelor empirice și teoretice de somn ochi „, desigur, nu este suficient. Pentru a face mai rezonabil, ar trebui să fie utilizat, de exemplu, testul Pearson (a se vedea. Cap. XIX, § 23). Testarea ipotezei privind distribuția variabilei aleatoare Poisson este descrisă în cartea: Gmurman VE Ghid pentru rezolvarea problemelor de teoria probabilităților și statistica matematică. M. "High School" 1972 (a se vedea. Cap. XIII, § 17).
B. distribuție continuă. În cazul unei distribuții continue, probabilitățile de valori posibile individuale sunt zero (a se vedea. Ch, X, § 2, Corolar 2). Prin urmare, toată gama de valori posibile este împărțit în intervale disjuncte k și probabilitatea Pi calculat în contact X i -lea interval parțial, și apoi, ca și pentru distribuția discretă, multiplicat numărul de teste pe aceste probabilități.
Astfel, distribuțiile de frecvență nivelare sunt continue pentru egalitatea
unde n - numărul de încercări; Pi - a lovit probabilitate X în i -lea interval parțial, calculat în ipoteza că X are distribuția așteptată.
În special, în cazul în care există motive să se presupună că variabila aleatoare X (populația de bază) este distribuit în mod normal, de egalizare de frecvență pot fi găsite prin formula
unde n - numărul de teste (mărimea eșantionului), h - lungimea intervalului parțial, # 963; in - proba medie pătratică deviație cal, (xi - mid i -lea interval parțial)
Exemplu de aplicare a formulei (*) este dată în § 7.
Explicație. Să ne explicăm originea cu formula (*). Să ne scrie densitatea totală a distribuției normale:
Când a = 0 și # 963; = 1 obținem densitatea rationing:
sau prin schimbarea denumirii a argumentului,
Comparând (**) și (***), putem concluziona că
În cazul în care așteptările și abaterea standard, și # 963; necunoscut, deoarece aceste estimări ale parametrilor, respectiv, luând proba medie și proba deviație standard # 963; în (a se vedea capitolul XVI, § .. 5,9). atunci
Să xi - mid i -lea interval (care este împărțit mulțimea tuturor valorilor observate ale unei variabile aleatoare X distribuite normal) de lungime h. Apoi a lovit probabilitate X în acest interval este aproximativ egal cu produsul dintre lungimea intervalului la o valoare a distribuției densității f (x), în orice punct al intervalului și, în particular, la x = xi (a se vedea capitolul XI, § 5 ..):
Prin urmare, frecvența de egalizare
în cazul în care .nu a primit cu formula (*).