Dovedeste ca vectorii a, b, c formează o bază, și pentru a găsi coordonatele vectorului d în această bază.
Fie R 3 f1 patru vector = (1,2,3) sunt date în raport cu bazele canonice. f2 = (2,3,7). f3 = (1,3,1). x = (2,3,4). Demonstrați că vectorii f1. F2. F3 poate fi luată ca o nouă bază. găsi coordonatele # 951; 1. # 951; 2. # 951; 3 vector x în raport cu această bază.
soluţie:
Scrieți matricea de tranziție A:
și pentru a găsi determinantul său
<>0
Vedem că gradul de C este egal cu trei. Din teorema bazei vectorilor minore f1. F2. f3 liniar independente și, prin urmare, poate fi luată ca bază de R3.
Găsim inversa matricea A -1.
Matricea transpusă:
Cofactori:
Matricea inversă -1
Noi găsim coordonatele vectorului x în raport cu noua bază.
Exemplul №1. Având în vedere vectorii a, b, c și d. Pentru a stabili că vectorii o. b. c formează o bază, și pentru a găsi coordonatele vectorului d în această bază.
Decizie.
Valoarea înregistrată pentru vectorii d = # 945; a + # 946; b + # 947; c, este adevărat pentru fiecare dintre proeminențele:
# 945 * 1 + # 946 * 2 + # 947 * 1 = 0
# 945 * 2 - # 946 * 2 - # 947 * 2 = 3
# 945 * 1 + # 946 * 1 + 947 # 0 = 1 adică un sistem algebric de trei ecuații cu trei necunoscute. Soluția sistemului mai convenabil pentru a calcula metoda Kramer sau metoda matricei inverse.
# 945; = 1/2; # 946; = 1/2; # 947; = -3/2
în consecință, vectorul d are o expansiune într-o bază a, b, c.
d = 1 / 2a + 1 / 2b - 3 / 2c
Exemplul №2. vectori dat. Arătați că vectorii formează o bază a spațiului tridimensional și de a găsi coordonatele vectorului în această bază:
Decizie. Această sarcină este format din două părți. În primul rând, verificați dacă vectorii formează o bază.
Vectori formează o bază, dacă determinantul coordonatele acestor vectori este nenulă, altfel nu sunt vectorul de bază și vectorul nu poate fi extins pe baza.
Deoarece determinantul este nenulă, vectorii formează o bază, prin urmare, vectorul poate fi extins pe baza. Ie există # 945; # 946; # 947; că egalitatea:
Scriem această ecuație în forma de coordonate:
Folosind proprietățile vectorilor, obținem următoarea ecuație:
Prin proprietate avem egalitatea de vectori:
Rezolvarea sistemului de ecuații rezultat prin Gauss (prin eliminarea succesivă a necunoscutelor sistemului de ecuații), ales ca ecuația maestru a doua ecuație:
Se exprimă ecuația obținută din primul sistem # 945; și substituie această expresie în a doua și a treia ecuațiile sistemului:
Impartim a doua ecuație de -1, iar a treia ecuație pentru a exprima -3 și din ecuația rezultată # 947;.
Substituind această expresie pentru # 947; în a treia ecuație:
Ca rezultat, vom obține extinderea vectorului în baza: